Na powierzchni około 2: przykłady

Data:

2019-10-09 02:30:12

Przegląd:

789

Ranking:

1Kochać 0Niechęć

Udział:

Table of contents:

Z powierzchniami 2-go rzędu student występuje najczęściej na pierwszym roku. Najpierw zadania na ten temat może wydawać się proste, ale w miarę nauki matematyki wyższej i zagłębienia się w naukową stronę, możesz w końcu przestać poruszać się w tym, co się dzieje. Aby do tego nie doszło, nie trzeba po prostu zapamiętać i zrozumieć, jak to jest ta lub inna powierzchnia, jak zmiana kursu wpływa na nią i jej położenie w stosunku do pierwotnej układu współrzędnych i jak znaleźć nowy system (taką, w której środek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, a oś symetrii jest równoległa do jednej z osi współrzędnych). Zacznijmy od samego początku.

Określenie

Powierzchni 2 około nazywa się zbiór punktów, którego współrzędne spełniają ogólnego równania podobny do następującego:

F(x,y,z)=0.

Jasne, że każdy punkt, należąca do powierzchni, musi mieć trzy współrzędne w jakimś wyznaczonym linią końcową. Chociaż w niektórych przypadkach zbiór punktów może się przerodzić, na przykład, w płaszczyznę. To tylko znaczy, że jedna ze współrzędnych jest stała i równa zeru w całym zakresie dopuszczalnych wartości.

Pełna rozpisany kształt wspomnianego wyżej równości wygląda так:

A11X2+A22Y2+A33Z2+2A12Xy+2A23Yz+2A13Xz+2A14X+2A24Y+2A34Z+A44=0.

ANm – niektóre stałe, x, y, z – zmienne odpowiedzialne аффинным współrzędnych żadnego punktu. Przy tym przynajmniej jeden z mnożników-stałych musi być równy zero, czyli nie każdy punkt będzie spełniać równanie.

W zdecydowanej większości przykładów wiele liczbowe mnożniki jednak tożsamość równe zero, a równanie jest znacznie uproszczone. W praktyce określenie przynależności punktu do powierzchni nie jest trudne (wystarczy podstawić jej współrzędne do równania i sprawdzić, czy przestrzegane tożsamość). Kluczowym momentem w takiej pracy jest doprowadzenie do ostatniej do kanoniczną myśli.

Napisane powyżej równanie określa wszelkie (wszystkie podane dalej) powierzchni 2 około. Przykłady rozważmy dalej.

Rodzaje powierzchni około 2

Równania powierzchni 2 około różnią się tylko wartościami współczynników ANm. Z ogólnego wyglądu przy określonych wartościach stałych mogą mieć różne powierzchnie, które zostały sklasyfikowane w następujący sposób:

  1. Cylindry.
  2. Typ Eliptyczny.
  3. Typ Hiperboliczny.
  4. Stożkowy typ.
  5. Paraboliczny typ.
  6. Płaszczyzny.

U każdego z wymienionych gatunków jest naturalna i jego forma: w wyimaginowanej postaci zbiór punktów materialnych albo przeradza się w bardziej prosty rysunek, albo nie ma wcale.

Cylindry

Jest To najprostszy typ, tak jak stosunkowo skomplikowana krzywa leży tylko w podstawie, występując jako prowadnicy. Tworząc są bezpośrednie, prostopadłe do płaszczyzny, w której leży założenie.

Powierzchni 2 około

Na wykresie przedstawiono okrągły cylinder ó szczególny przypadek eliptycznego cylindra. W płaszczyźnie XY jego projekcja będzie эллипсом (w naszym przypadku około) - prowadnicy, a w XZ ó prostokątem – tak jak tworzą równoległe do osi Z. Aby dostać się z ogólnego równania, należy nadać kursy następujące wartości:

Powierzchni 2 około

Zamiast zwykłych symboli x, y, zet wykorzystane иксы z kolejnym numerze – to nie ma żadnego znaczenia.

W istocie, 1/a2 I inne wymienione tutaj stałe są tymi samymi współczynnikami określonymi w ogólnym równaniu, ale w zwyczaju nagrywać je właśnie w takiej postaci – to jest kanoniczne przedstawienie. Dalej będą wykorzystywane wyłącznie taki zapis.

Powierzchni 2 około

Tak określa hiperboliczny cylinder. Schemat ten sam ó prowadnicy będzie hiperbola.

Y2=2px

Paraboliczny siłownik ustawia się nieco inaczej: jego postaci kanonicznej zawiera współczynnik p, zwany parametrem. W rzeczywistości, współczynnik równy q=2p, ale przyjęto dzielić go na przedstawione dwa mnożenia.

Jest jeszcze jeden rodzaj silnika: urojone. Takiego cylindra nie należy żadna materialna punkt. Opisuje go równanie eliptyczne cylindra, ale zamiast jednostki warto -1.

Eliptyczny typ

Powierzchni 2 około

Elipsoida może być rozciągnięta wzdłuż jednej z osi (wzdłuż której właśnie zależy od wartości stałych a, b, c, o których mowa powyżej; jest oczywiste, że większą osi będzie pasował większy współczynnik).

Powierzchni 2-go rzędu

Istnieje Także rzekomą elipsoida – pod warunkiem, że suma współrzędnych,помноженная na kursy, jest równa -1:

Powierzchni 2 około

Гиперболоиды

Powierzchni 2 około

Gdy pojawi się minus w jednej ze stałych równanie elipsoidy przekształca się w równanie однополостного гиперболоида. Trzeba zrozumieć, że ten minus nie musi znajdować się przed współrzędną x3! On tylko określa, który z osi będzie osią obrotu гиперболоида (lub równoległa do niej, ponieważ po pojawieniu się dodatkowych terminów, w kwadracie (na przykład, (x-2)2) przesunięcie środka figury, w konsekwencji, powierzchnia przesuwa się równolegle do osi układu współrzędnych). To odnosi się do wszystkich powierzchni 2 rzędu.

równania powierzchni 2 około

Poza tym, trzeba zrozumieć, że równania przedstawione w kanonicznym postaci i mogą być modyfikowane za pomocą zmienności stałych (z zachowaniem znaku!); przy tym ich wygląd (гиперболоид, stożek i tak dalej) pozostanie ten sam.

Powierzchni 2 około

To jest równanie określa już двуполостный гиперболоид.

Powierzchni 2 około budowanie

Stożkowa powierzchnia

Powierzchni 2 około

W równaniu stożka jednostka brakuje ó równość zero.

Stożkiem nazywa tylko ograniczona stożkowa powierzchnia. Na zdjęciu poniżej widać, że, w istocie, na wykresie okaże się dwa tzw. stożka.

rodzaje оверхностей 2 porządku

Ważne: we wszystkich rozważanych kanonicznych równaniach stałe domyślnie przyjmowane są pozytywne. W przeciwnym razie znak może mieć wpływ na końcowy wykres.

Płaszczyzny Xy są płaszczyznami symetrii stożka, centrum symetrii znajduje się w początku układu współrzędnych.

Powierzchni 2 około

W równaniu rzekomego stożka są tylko plusy; należy do niego jedna jedyna materialna punkt.

Параболоиды

Powierzchni 2 porządku w przestrzeni mogą przybierać różne formy, nawet przy podobnych równaniach. Na przykład, параболоиды są dwóch rodzajów.

X2/a2+y2/b2=2z

Eliptyczny параболоид, w położeniu osi Z prostopadle do rysunku, będzie wyświetlany w elipsę.

Zbudować powierzchni 2 około

X2/a2-y2/b2=2z

Hiperboliczny параболоид: w przekrojach płaszczyznami równoległymi ZY, zostaną uzyskane paraboli, a w przekrojach płaszczyznami równoległymi XY ó hiperboli.

Powierzchni 2-go rzędu

Przecinające się płaszczyzny

Istnieją przypadki, gdy powierzchnie 2-go rzędu degenerują się w płaszczyźnie. Te płaszczyzny mogą znajdować się na różne sposoby.

Rozważmy Najpierw przecinające się płaszczyzny:

X2/a2-y2/b2=0,

Przy takiej modyfikacji kanonicznej równania są tylko dwie przecinające się płaszczyzny (urojone!); wszystkie fizyczne punkty znajdują się na tej osi współrzędnych, który nie jest w równaniu (w kanonicznym ó osi Z).

Równoległe płaszczyzny

Y2=a2

Jeśli masz tylko jedną współrzędne powierzchni 2-go rzędu degenerują się w kilka równoległych płaszczyzn. Nie zapominaj, na miejscu игрека może stać jakaś inna zmienna; wtedy zostaną uzyskane płaszczyzny równoległe do innych osiach.

Y2=−a2

W tym przypadku stają się one wyimaginowane.

Pasujące płaszczyzny

Y2=0,

Przy takim prostym równaniu para płaszczyzn, co przeradza się w jedno – są one takie same.

Nie zapominaj, że w przypadku trójwymiarowego linii końcowej przedstawione powyżej równanie nie określa prostą y=0! W nim brakuje dwie inne zmienne, ale to tylko znaczy, że ich wartość jest stale i wynosi zero.

Tworzenie

Jednym z najtrudniejszych zadań dla ucznia jest właśnie budowanie powierzchni 2 około. Jeszcze bardziej trudne przejście z jednego układu współrzędnych do drugiego, biorąc pod uwagę kąty nachylenia krzywej względem osi i przesunięcie środka. Powtórzmy to, jak konsekwentnie określić przyszły wygląd rysunku analityczny sposób.

Aby zbudować powierzchnia 2 w porządku, należy:

  • Doprowadzić równanie do kanoniczną myśli;
  • Określić rodzaj badanej powierzchni;
  • Budować, opierając się na wartości współczynników.

Poniżej znajdziesz wszystkie wspomniane rodzaje:

Powierzchni około 2 przykłady

Do mocowania szczegółowo распишем jeden przykład tego typu zadania.

Przykłady

Załóżmy, że istnieje równanie:

3(x2-2x+1)+6y2+2z2+60y+144=0

Oto go dokanoniczną myśli. Podkreślić pełne kwadraty, czyli скомпонуем dostępne suma w taki sposób, aby były one rozkładem kwadratu sumy lub różnicy. Na przykład: jeśli (a+1)2=a2+2a+1, to a2+2a+1=(a+1)2. Zamierzamy przeprowadzić drugą operację. Nawiasy w tym przypadku ujawnienia nie koniecznie, tak jak to tylko komplikuje obliczenia, a to wydać wspólny mnożnik 6 (w wspornika z pełnym kwadratem игрека) należy:

3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6

Zmienna зэт spotyka się w tym przypadku tylko jeden raz ó można ją dopóki nie dotykać.

Analizujemy równanie na tym etapie: przed wszystkimi niewiadomymi stoi znak óplus»; przy podziale na sześć pozostaje jednostka. Zatem przed nami równanie, określająca elipsoida.

Zauważ, że 144 było ustanowione na 150-6, po czym -6 przeniesiono w prawo. Dlaczego trzeba było zrobić tak? Jest oczywiste, że największy dzielnik w tym przykładzie -6, dlatego też, aby po podzieleniu na niego z prawej strony została jednostka, należy «odłożyć» od 144 właśnie 6 (o tym, że po prawej stronie powinna być jednostka, mówi dostępność wolnego członka ó stałe, nie razy na nieznanej).

Podzielimy na sześć i otrzymamy kanonicznej równanie elipsoidy:

(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2/3=1

W stosowanej wcześniej klasyfikacji powierzchni 2 około uważany jest przypadek, gdy w centrum formacji znajduje się w początku układu współrzędnych. W tym przykładzie jest on przesunięty.

Wierzymy, że każda klamra z nieznanymi – to nowa zmienna. Czyli: a=x-1, b=y+5, c=z. W nowych współrzędnych środek elipsoidy pokrywa się z punktem (0,0,0), a zatem a=b=c=0, skąd: x=1, y=-5, z=0. W początkowych współrzędnych centrum kształty leży w punkcie (1,-5,0).

Elipsoida będzie się układało się z dwóch części: pierwszej w płaszczyźnie XY i drugiego w płaszczyźnie XZ lub YZ – to nie ma znaczenia). Kursy, na które podzielone są zmienne, są w kanonicznym równania do kwadratu. Zatem w powyższym przykładzie lepiej byłoby podzielić na pierwiastek z dwóch, jednostkę i pierwiastek z trzech.

Mniejsza przednia pierwszej elipsy, równoległa do osi Y, równa się dwa. Duża oś równoległa do osi X – dwóch korzeni z dwóch. Mniejsza przednia drugiego elipsy, równoległa do osi Y, pozostaje ten sam – jest ona równa dwóm. A duża oś równoległa do osi Z, równa się dwóm korzeni z trzech.

Za pomocą pochodzących z pierwotnego równania przez konwersję do kanoniczną rodzaju danych możemy narysować elipsoida.

Podsumowując

Oświetlony w tym artykule temat jest dość obszerna, ale, w rzeczywistości, jak można teraz zobaczyć, nie jest bardzo skomplikowany. Jej opanowanie, w rzeczywistości kończy się na tym momencie, kiedy заучиваете nazwy i równania powierzchni (i, oczywiście, jak one wyglądają). W powyższym przykładzie możemy szczegółowo traktowali każdy krok, ale doprowadzenie równania do kanoniczną rodzaju wymaga minimalnej wiedzy w wyższej matematyce i nie powinno powodować żadnych trudności u ucznia.

Analiza przyszłości grafika istniejącej równości już trudniejsze zadanie. Ale dla jej pomyślnego rozwiązania wystarczy zrozumieć, jak są zbudowane odpowiednie krzywe stożkowe ó elipsy, paraboli i inne.

Przypadki degeneracja – jeszcze bardziej prosty temat. Z powodu braku niektórych zmiennych łatwiejsze i nie tylko obliczenia, jak już było powiedziane wcześniej, ale i samo budowanie.

Jak tylko można śmiało nazwać wszystkie rodzaje powierzchni, zmieniać stałe, przekształcając wykres w tę lub inną figurę ó tematem będzie opanować.

Sukcesów w nauce!


Article in other languages:

PT: https://tostpost.com/pt/educa-o/38928-a-superf-cie-da-ordem-de-2-exemplos.html

ZH: https://tostpost.com/zh/education/18836-surface-of-order-2-examples.html






Alin Trodden - autor artykułu, redaktor
"Cześć, jestem Alin Trodden. Piszę teksty, czytam książki, Szukam wrażeń. I nie jestem zły w opowiadaniu ci o tym. Zawsze chętnie biorę udział w ciekawych projektach."

Uwaga (0)

Ten artykuł nie ma komentarzy, bądź pierwszy!

Dodaj komentarz

Nowości

Co Prawda Sony Мармеладовой. Historia życia, przeznaczenie i miłość bohaterki powieści

Co Prawda Sony Мармеладовой. Historia życia, przeznaczenie i miłość bohaterki powieści "Zbrodnia i kara" Sony Мармеладовой

Rozgałęźników Rodion Romanowicz - biedny i sponiewierane student, główny bohater powieści "Zbrodnia i kara". Autorem dzieła jest Dostojewski Fiodor Michajłowicz. Dla psychologicznego przeciwwagi teorii Rodion Romanowicza pisarzem ...

Skąd powiedzenie

Skąd powiedzenie "popa z uchwytem"?

W rosyjskiej mowy, istnieje wiele zabawnych trwałych wyrażeń, które są dobre i jak беззлобная żart, i jak dobroduszny naganę. Znamiennym przykładem - "popa z uchwytem". Skąd w ogóle wziął się tego języka? Co chce powiedzieć człowi...

Co to jest nieokreślona zmienność w biologii: definicja. Na czym polega różnica określonej i nieokreślonej zmienności?

Co to jest nieokreślona zmienność w biologii: definicja. Na czym polega różnica określonej i nieokreślonej zmienności?

Problemy ekologii ewolucyjnej teorii, популяционной biologii i innych nauk często dotyczą pojęcie zmienności (jako określonej i nieokreślonej). To kamień węgielny dla zrozumienia pochodzenia gatunków, ich zdolności do przystosowan...

Jak pisać wypracowania o sobie? Jak opowiedzieć o sobie prawda?

Jak pisać wypracowania o sobie? Jak opowiedzieć o sobie prawda?

Często w szkołach zadają uczniom napisać pisma o sobie. Zadania te zwykle dają w liceum, bo w 16-17 lat uczniowie myślą całkiem świadomie i już mogą przedstawić swoje myśli na ten temat.Podstawowe pomysłPisma o sobie są popularną ...

Zginać kolan - co to znaczy?

Zginać kolan - co to znaczy?

Co to jest zginać kolan? Znaczenie słowa w różnych słownikach wyjaśnia około równie: leniuchować, wagary, wymigać od pracy. A oto względem występowania tego terminu językoznawcy dopóki nie zgodzili. Ktoś uważa, że słowo to pochodz...

"W rzeczywistości": przecinek gdzie umieścić? "W rzeczywistości" wyróżnia się przecinkami?

Jest takie obroty w języku polskim, o których nie można powiedzieć od razu, – to wstępne konstrukcji lub członkowie oferty, co oczywiście stwarza pewną trudność w postawieniu znaków interpunkcyjnych. Dziś za jeden taki przyp...