Die Grundlagen der mathematischen Analyse. Wie finde ich eine Ableitung?

Die Ableitung einer Funktion f(x) an einem bestimmten Punkt x0 bezeichnet die Grenze des Verhältnisses der Wachstumsrate einer Funktion zur Erhöhung des Arguments unter der Bedingung, dass x sollte auf 0, und die Grenze existiert. Abgeleitete beziehen sich in der Regel mit dem Strich, manchmal mit einem Punkt entweder durch das Differenzial. Oft Aufnahme производно über die Grenze führt in die Irre, da eine solche Darstellung nur selten eingesetzt.

Die Funktion, die Ableitung in einem bestimmten Punkt x0, genannt differenzierbar in einem Punkt. Nehmen wir an, D1 - Menge der Punkte, in welchen die Funktion f differenziert. Indem Sie in übereinstimmung jede Zahl die Anzahl der x, die im Besitz der D f’(x) erhalten wir eine Funktion mit dem Bereich Bezeichnung D1. Diese Funktion ist die Ableitung y=f(x). Es bezeichnen: f’(x).

Darüber hinaus ist eine Ableitung weit verbreitet in der Physik und Technik. Betrachten wir das einfachste Beispiel. Ein materieller Punkt bewegt sich entlang einer kartesischen direkt, als beim Gesetz der Bewegung angegeben ist, das heißt, die Koordinate x zu diesem Punkt ist die Funktion x(t). Während des Zeitintervalls von t0 bis t0+t punktverschiebung ergibt x(t0+t)-x(t0)= x, wobei die mittlere Geschwindigkeit v(t) ist gleich x/t.

Manchmal ist die Art der Bewegung so vorgestellt, dass bei kleinen Zeitabschnitten die mittlere Geschwindigkeit nicht geändert wird, bezieht sich auf die Tatsache, dass die Bewegung mit größerer Genauigkeit als einheitlich. Oder den Wert der mittleren Geschwindigkeit, wenn t0 sollte zu einer absolut genauen Wert, und nennen die momentane Geschwindigkeit v(t0) in diesem Punkt zu einem bestimmten Zeitpunkt t0. Es wird angenommen, dass die momentane Geschwindigkeit v(t) bekannt für alle differenzierten Funktionen x(t), wobei v(t) ist gleich x’(t). Einfach ausgedrückt, Geschwindigkeit – es ist die Ableitung der Koordinaten nach der Zeit.

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Instant-Speed hat sowohl positive als auch negative Werte sowie der Wert 0. Wenn Sie auf einem gewissen Zeitintervall (t1; t2) positiv, dann wird ein Punkt bewegt sich in die gleiche Richtung, d.h. die Koordinate x(t) steigt mit der Zeit, und wenn v(t) negativ, dann ist die Koordinate x(t) reduziert.

In komplexeren Fällen ein Punkt bewegt sich in der Ebene oder im Raum. Dann die Geschwindigkeit ü Vektorgröße und bestimmt jede der Koordinaten des Vektors v(t).

Ebenso kann verglichen werden mit der Beschleunigung der Bewegung des Punktes. Die Geschwindigkeit ist eine Funktion von der Zeit, d.h. v=v(t). Und die Ableitung einer solchen Funktion - beschleunigte Bewegung: a=v’(t). Das heißt, dass die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung.

Nehmen wir an y=f(x) - jede differenzierte Funktion. Dann können Sie prüfen, die Bewegung der materiellen Punkte im Koordinatensystem der geraden, die durch das Gesetz x=f(t). Mechanische Inhalt Ableitung gibt die Möglichkeit, visuelle Interpretation der Theoreme der Differentialrechnung.

Als eine abgeleitete? Verbleib der Ableitung einer Funktion nennt man Ihre Unterscheidung.

Lassen Sie uns noch Beispiele dafür, wie eine abgeleitete Funktion:

Die Ableitung einer Konstanten Funktion gleich null ist; die Ableitung der Funktion y=x gleich eins.

Und als eine abgeleitete Brüche? Dazu betrachten wir das folgende Material:

Bei jedem x0<>0 haben wir

Y/x=-1/x0*(x+x)

Es gibt ein paar Regeln, wie eine Ableitung. Nämlich:

Wenn Sie die Funktionen A und B differenziert im Punkt x0, dann ist Ihre Summe an einem Punkt differenziert: (A+B)’=A’+B’. Einfach ausgedrückt, ist die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen. Wenn die Funktion differenziert an einem gewissen Punkt, dann wird Ihr Gewinn sollte auf null bei der Verfolgung auf null Wachstum des Arguments.

Wenn Sie die Funktionen A und B differenziert im Punkt x0, dann Ihr Produkt an einem Punkt differenziert: (A*B)’=A’B+AB’. (Funktionswerte und deren Ableitungen berechnet im Punkt x0). Wenn die Funktion A(x) differenziert im Punkt x0, und Mit ü Konstante, dann ist die Funktion CA differenziert an dieser Stelle und (CA)’ s=CA’. Das heißt, solche Konstanten Faktor wird das Zeichen Derivat.

Wenn Sie die Funktionen A und B differenziert an der Stelle x0 und die Funktion B nicht null ist, das Verhältnis so differenziert an einem Punkt: (A/B)’ s=(A’, B-B’)/B*B.