Асновы матэматычнага аналізу. Як знайсці вытворную?

Вытворнай некаторай функцыі f(x) у канкрэтнай кропцы x0 называюць мяжу суадносін прыросту функцыі да прыросту аргумента пры ўмове, што x варта да 0, а мяжа існуе. Вытворную звычайна абазначаюць рыскай, часам з дапамогай кропкі альбо праз дыферэнцыял. Нярэдка запіс вытворнай праз мяжу прыводзіць у зман, так як такое ўяўленне выкарыстоўваецца вельмі рэдка.

Функцыю, якая мае вытворную ў пэўнай кропцы x0, прынята называць дыферэнцавальная ў такой кропцы. Выкажам здагадку, D1 - мноства кропак, у якіх функцыя f дыферэнцыраваны. Паставіўшы ў адпаведнасць кожнаму ліку лік x, якое належыць D f’(x), атрымаем функцыю з вобласцю абазначэння D1. Гэтая функцыя з'яўляецца вытворнай y=f(x). Яе абазначаюць так: f’(x).

Акрамя таго, вытворная шырока выкарыстоўваецца ў фізіцы і тэхніцы. Разгледзім самы просты прыклад. Матэрыяльная кропка рухаецца па каардынатнай прама, пры чым зададзены закон руху, то ёсць каардынатай x гэтага пункту з'яўляецца вядомая функцыя x(t). На працягу інтэрвалу часу ад t0 да t0+t перасоўванне кропкі складае x(t0+t)-x(t0)= x, а яе сярэдняя хуткасць v(t) роўная x/t.

Часам характар руху прадстаўлены так, што пры малых адрэзках часу сярэдняя хуткасць не змяняецца, маецца на ўвазе тое, што рух з большай ступенню дакладнасці лічыцца раўнамерным. Ці ж значэнне сярэдняй хуткасці, калі t0 варта да некаторага абсалютна дакладнаму значэнню, якое і называюць маментальнай хуткасцю v(t0) гэтай кропкі ў канкрэтны момант часу t0. Лічыцца, што імгненная хуткасць v(t) вядомая для любой дыферэнцыраванай функцыі x(t), пры чым v(t) будзе роўна x’(t). Прасцей кажучы, хуткасць – гэта вытворная ад каардынаты па часе.

Больш:

Нервовы імпульс, яго пераўтварэнне і механізм перадачы

Нервовая сістэма чалавека выступае своеасаблівым каардынатарам у нашым арганізме. Яна перадае каманды ад мозгу мускулатуры, органаў, тканін і апрацоўвае сігналы, якія ідуць ад іх. У якасці своеасаблівага носьбіта дадзеных выкарыстоўваецца нервовы імп...

Куды паступаць пасля 11 класа? Якую выбраць прафесію?

Пры выбары сваёй будучай прафесіі не варта абапірацца на чые-то рэкамендацыі і парады, тым больш не трэба падпарадкоўвацца сваім бацькам, якія даволі часта вырашаюць без вас самастойна, куды паступіць пасля 11 класа. Варта задумацца, наколькі паспяхо...

Крывяносная сістэма жывёл, як вынік эвалюцыйнага развіцця свету

Крывяносная сістэма жывёл прайшла доўгі шлях фарміравання ў ходзе эвалюцыйнага развіцця свету. Яна ўтварылася на месцы рудыментарных частак першаснай паражніны цела, якая ў вышэйшых жывёл была выцесненая целломом, або другаснай паражніной цела. У пра...

Імгненная хуткасць мае і станоўчыя, і адмоўныя значэння, а таксама значэнне 0. Калі ж яна на пэўным інтэрвале часу (t1; t2) станоўчая, тады кропка рухаецца ў такім жа напрамку, то ёсць каардыната x(t) павялічваецца з часам, а калі v(t) адмоўная, тады каардыната x(t) памяншаецца.

У больш складаных выпадках кропка рухаецца ў плоскасці або ў прасторы. Тады хуткасць – вектарная велічыня і вызначае кожную з каардынат вектара v(t).

Аналагічна можна супаставіць з паскарэннем руху пункту. Хуткасць з'яўляецца функцыяй ад часу, гэта значыць v=v(t). А вытворная такой функцыі - паскарэннем руху: a=v’(t). Гэта значыць, атрымліваецца, што вытворная ад хуткасці па часе з'яўляецца паскарэннем.

выкажам здагадку y=f(x) - любая дыферэнцыраваная функцыя. Тады можна разгледзець рух матэрыяльнай кропкі на каардынатнай прамой, якое адбываецца за законам x=f(t). Механічнае змест вытворнай дае магчымасць прадставіць наглядную інтэрпрэтацыю тэарэм дыферэнцыяльнага вылічэння.

Як знайсці вытворную? Знаходжанне вытворнай некаторай функцыі называецца яе дифференцированием.

Навядзем прыклады таго, як знайсці вытворную функцыю:

Вытворная пастаяннай функцыі роўная нулю; вытворная функцыі y=x роўная адзінцы.

А як знайсці вытворную дробу? Для гэтага разгледзім наступны матэрыял:

Пры любым x0<>0 будзем мець

Y/x=-1/x0*(x+x)

Існуе некалькі правіл, як знайсці вытворную. А менавіта:

Калі функцыі A і B дыферэнцыраваны ў пункце x0, то іх сума дыферэнцыраваны ў кропцы: (A+B)’=A’+B’. Прасцей кажучы, вытворная сумы роўная суме вытворных. Калі функцыя дыферэнцыраваны ў некаторай кропцы, тады яе прырост варта да нуля пры прытрымліванні да нуля прыросту аргумента.

Калі функцыі A і B дыферэнцыраваны ў пункце x0, то іх твор дыферэнцыравана ў кропцы: (A*B)’=A’B+AB’. (Значэння функцый і іх вытворных разлічваюцца ў пункце x0). Калі функцыя A(x) дыферэнцыраваны ў пункце x0, а З – пастаянная, тады функцыя CA дыферэнцыраваны ў гэтай кропцы і (CA)’=CA’. Гэта значыць, такі пастаянны множнік выносіцца за знак вытворнай.

Калі функцыі A і B дыферэнцыраваны ў пункце x0, і функцыя B не роўная нулю, то іх суадносіны гэтак жа дыферэнцыравана ў кропцы: (A/B)’=(A’B-AB’)/B*B.