Wie man Ungleichungen? Wie man fraktionierte und quadratische Ungleichungen?

Datum:

2018-08-17 06:10:23

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Das Konzept der mathematischen Ungleichungen entstand in der Antike. Dies geschah dann, wenn bei den Urmenschen gab es eine Notwendigkeit, und beim Stand von Aktivitäten mit verschiedenen Objekten zu vergleichen, deren Anzahl und Größe. Beginnend mit der Antike неравенствами genossen in Ihrer Argumentation Archimedes, Euklid und andere illustre Persönlichkeiten der Wissenschaft: Mathematiker, Astronomen, Ingenieure und Philosophen.

Aber Sie sind in der Regel verwendet in seinen Werken die verbale Terminologie. Erstmals die modernen Zeichen für die Bezeichnung der Konzepte „mehr“ und „kleiner“ in der Form, welche Sie heute jedes Kind kennt die Geschichte, erfunden und angewandt in der Praxis in England. Hatte einen solchen Dienst Nachkommen Mathematiker Thomas Гарриот. Und es geschah ungefähr vier Jahrhunderte zurück.

wie man Ungleichheit

Es gibt viele Arten von Ungleichheiten. Unter Ihnen einfache, mit einer, zwei und mehr Variablen, quadratische, Bruch, komplexe Verhältnisse und auch die vorgestellten System Ausdrücken. Und zu verstehen, wie Ungleichheit zu lösen, am besten an verschiedenen Beispielen.

Verpassen Sie Nicht den Zug

Für den Anfang vorstellen, dass die Bewohner der Landschaft eilt zum Bahnhof, die in einer Entfernung von 20 km von seinem Dorf. Um nicht zu spät zum Zug, Abfahrt um 11 Uhr, muss er rechtzeitig das Haus verlassen. Wann Sie dies tun müssen, wenn seine Geschwindigkeit beträgt 5 km/h? Die Lösung dieser praktischen Aufgaben kommt es auf die Erfüllung der Bedingungen des Ausdrucks: 5 (11 " X) ≥ 20, wobei X – die Zeit der Abreise.

Das Ist verständlich, denn die Distanz, die überwunden werden müssen Bauern bis zur Station gleich der Geschwindigkeit der Bewegung, multipliziert mit der Anzahl der Stunden pro Weg. Früher kommen kann eine Person, aber das ist zu spät ihm nicht. Zu wissen, wie Ungleichheit zu lösen, und indem Sie Ihre Fähigkeiten in der Praxis, als Ergebnis erhalten wir X ≤ 7, und was ist die Antwort. Dies bedeutet, dass die Bauern sollten gehen zum Bahnhof um sieben Uhr morgens oder etwas früher.

Numerische Zwischenräume Koordinatensystem auf einer geraden

Jetzt herausfinden, so zeigen die beschriebenen Verhältnisse Koordinatensystem auf einer geraden. Empfangene höher die Ungleichheit ist nicht streng. Es bedeutet, dass die Variable kann Werte kleiner als 7, und kann gleich dieser Zahl. Hier sind andere Beispiele. Für diese sorgfältig betrachten die Zeichnung, die nachfolgend aufgeführt.

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wie man gebrochene Ungleichungen

Auf der ersten von Ihnen können Sie sehen eine grafische Darstellung Intervall [-7; 7]. Er besteht aus einer Menge von zahlen vorgestellten Koordinatensystem auf einer geraden und sind zwischen -7 und 7, einschließlich der Grenzen. Bei diesem Punkt auf dem Graphen dargestellt in Form von gefüllten Kreisen und Intervall Aufnahme erfolgt mit eckigen Klammern.

Die Zweite Abbildung ist eine grafische Darstellung eines strikten Ungleichungen. In diesem Fall wird die Grenze der Zahl -7 und 7, gezeigten выколотыми (nicht schattierten) Punkten, nicht enthalten in der angegebenen Menge. Und der Datensatz des Zeitraums erfolgt in den Runden Klammern wie folgt: (-7; 7).

Das heißt, herauszufinden, wie man Ungleichungen Dieser Art, und erhielt eine ähnliche Antwort lässt sich folgern, dass es besteht aus zahlen, die sich zwischen den betrachteten Grenzen, darüber -7 und 7. Die folgenden zwei Fälle in ähnlicher Weise zu bewerten. Auf der Dritten Abbildung ist das Bild gegeben Lücken (-∞; -7] U [7; +∞) und der vierte - (-∞; -7) U (7; +∞).

Zwei Ausdrücke in einem

Oft kann man den folgenden Eintrag: 7 < 2 – 3 < 12. Wie man doppelte Ungleichheit? Dies bedeutet, dass der Ausdruck weist nur zwei Bedingungen. Und jeder von Ihnen zu beachten, um die richtige Antwort für die Variable X. unter Berücksichtigung dieser Situation, so erhalten wir aus den Beziehungen 2 – 3 > 7 und 2X – 3 < 11 Folgendes:

5 < X < 7. Die endgültige Antwort geschrieben wird also: (5; 7). Dies bedeutet, dass eine Variable mehrere Werte akzeptiert, die in der Lücke zwischen den zahlen 5 und 7, ohne Grenzen.

Ähnliche Eigenschaften mit der Gleichung

Eine Gleichung ist ein Ausdruck, объединяемое Zeichen = , das bedeutet, dass beide Teile (Links und rechts) identisch in der Größe sein. Daher oft ähnliche Beziehungen verbinden die Weise mit der alten Waage mit der Schüssel installierte abgeschabt und mittels des Hebels. Dieses Gerät befindet sich immer im Gleichgewicht, wenn beide enden dotiert mit demselben Gewicht. Bei dieser Stellung ändert sich nicht, wenn linke und Rechte Teile ergänzt oder verlieren die Ladungen gleicher Masse.

quadratische Ungleichungen Lösung

In einer mathematischen Formel zu beiden teilen der Gleichheit, dass es nicht gebrochen ist, kann man auch lassen und die gleiche Zahl. Dabei kann es positiv oder negativ sein. Wie man Ungleichungen in diesem Fall, und kann ich machen mit Ihnen das gleiche? Die vorhergehenden Beispiele haben gezeigt, dass ja.

Gegensatz zu Gleichung

Beide Teile des Ausdrucks, Vereinigte Marken < oder >, kann man multiplizieren und dividieren auf eine beliebige positive Zahl. Dabei ist die Wahrheit das Verhältnis nicht gestört wird. Aber wie bei der Ungleichheit mit Brüchen und negativen ganzzahligen Multiplikatoren, vor denen steht ein Minuszeichen? Hier liegt die Sache ganz anders.

Betrachten wir dies an einem Beispiel: -3X < 12. Markieren Sie die Variable in der linken Seite teilt jede von Ihnen auf -3. Dabei ist ein Zeichen der Ungleichheit Umgekehrt. Wir erhalten: X > -4, und was ist die Antwortder gestellten Aufgabe.

Methode Intervalle

Ungleichheit heißt quadratisch, falls eine Variable enthält, errichtet in der zweiten Stufe. Ein Beispiel für einen solchen Verhältnisses dienen kann der folgende Ausdruck: X2 – 2X + 3 > 0. Wie man quadratische Ungleichungen? Die komfortabelste Methode ist die Methode der Intervalle. Um den Plan umzusetzen, sollten Sie zersetzen Multiplikatoren auf die linke Seite des Verhältnisses. Es stellt sich heraus: (X – 3)(X + 1). Dann empfehlen wir eine Nullen-Funktion und ordnen Sie die erhaltenen Punkte in der richtigen Reihenfolge Koordinatensystem auf einer geraden.

quadratische Ungleichungen

Als Nächstes müssen Sie die Zeichen verteilen resultierenden Intervalle, setzt man in den Ausdruck von jeder der zahlen, die zu diesem Zeitraum. Dabei ist in einfachen Fällen in der Regel genug, sich zumindest mit einem von Ihnen, und der Rest - Punktierung nach der Regel des Wechsels. Abschließend bleibt nur nehmen geeignete Intervalle, um eine endgültige Entscheidung zu treffen.

Quadratische Ungleichungen hier unter dem Gesetz der Einhaltung der negativen Bereiche minuses, und positive - Pluspunkte. Das heißt, wenn der Ausdruck größer als null ist, dann darf man die numerischen Lücken, die mit dem Zeichen markiert sind + . Und im umgekehrten Fall der Entscheidung werden die Bereiche, die mit gekennzeichnet sind - . Somit ist die Lösung unseres Ungleichheit wird so: (-∞; -1) U (3; +∞).

Weitere Beispiele für die Anwendung der Methode der Intervalle

Das Beschriebene Verfahren und gibt die Antwort auf eine andere wichtige Frage: wie lösen gebrochene Ungleichungen, wenn in diesem Fall durchaus anwendbar ist die gleiche Methode Intervalle? Betrachten wir, wie Sie dies tun können, am Beispiel des Verhältnisses gezeigten.

wie man quadratische Ungleichungen

Hier null Funktion sind die Punkte -9 und 4. Für die Suche nach der Lösung auftragen auf das direkte und Zeichen definieren die Zwischenräume, indem Sie nur diejenigen von Ihnen, die sich dem Pluszeichen ( + ) markierten. Hierbei ist zu beachten, dass die schattierte wird nur die Zahl 4.

Ein weiterer Punkt bude выколотой, da die -9 nicht in der Strecke, die zulässig sind. Denn dabei ist der Nenner null ergibt, was in der Mathematik unmöglich. Wie man gebrochene Ungleichungen? In diesem Fall die endgültige Antwort wird die Vereinigung der Lücken: (-∞; -9) U [4; +∞).

Auf dem Graphen der Parabel

Um alles über die неравенствах oft helfen nicht nur Bilder auf das Koordinatensystem der geraden, sondern auch Bilder in der kartesischen Ebene. Graphen einer quadratischen Abhängigkeit ist bekanntlich eine Parabel. Auch eine schematische Zeichnung dieser Art ist in der Lage, fast vollständig geben Antworten auf die gestellten Fragen. Betrachten wir einige der Arten von Parabeln, die Vorstellungen über die Lösung von quadratischen Ungleichungen.

Hier vor allem ergibt sich die Wahrheit. Jeder Ausdruck dieser Art wird zum Auge: Oh2 + BX + C = 0. Wobei, wenn das Verhältnis und erweist sich als positiv, ist die Parabel zeichnen soll ästen oben, im Gegenteil Fall – nach unten. Und die Wurzeln der Gleichung sind die Punkte, wobei der Schnittpunkt der Graphen der Funktion mit der Achse OX.

wie man die doppelten Ungleichheit

Auslegung

Wissen Sie die oben genannten Zustimmungen sind sehr wichtig für das Verständnis von quadratischen Ungleichungen und Antworten auf Fragen im Zusammenhang mit Ihnen. Начертив Schema Parabel auf der kartesischen Ebene, für die Lösung brauchen Sie, um herauszufinden, in welchem Punkt die Funktion (das heißt, die Koordinatenwerte von Punkten auf der Achse der AGB) akzeptiert Indikatoren + und -. Falls in der Angabe steht das Zeichen >, ist eine Lösung für ihn wird die Menge der Werte, die der Variablen X bei positivem W.

Im Falle des Zeichens < in der Antwort werden die Messwerte für X bei negativem W. so kommt es, dass eine Parabel und gar nicht überschneidet sich mit der Achse OX. Dies geschieht in Fällen, wenn D < 0. Dann, wenn das Diagramm befindet sich im oberen полуплоскости, die Antwort für den quadratischen Ungleichungen mit dem Zeichen > wird das Intervall (-∞; +∞). Und für < Lösung ist die leere Menge. Mit der unteren полуплоскостью verhält es sich mit der Genauigkeit ja im Gegenteil.

Über den Gebrauch von Grafiken

Das Bild auf der kartesischen Ebene erheblich erleichtern die Aufgabe für Gleichungssysteme. Zeichnungen veranschaulichen die Entscheidungen, die Schnittpunkte sind die Punkte der aufgetragenen Linien. Bleibt nur zu berechnen, deren Koordinaten und notieren Sie die Antwort.

wie zu lösen, Ungleichungen mit Brüchen

Das gleiche gilt für Ungleichungen. Zum Beispiel, die Lösung des Verhältnisses bei ≤ 6 – x (wie klar in der Zeichnung) ist selbst gerade Y = 6 - x, sowie полуплоскость, die unterhalb dieser Grenze. Für die genaue Antwort nehmen Sie einen beliebigen Punkt auf dem Graphen (z.B. (1; 3) und setzen die Koordinaten in die Ungleichheit. Wir erhalten: 3 ≤ 6 - 1, das heißt das richtige Verhältnis. Also, diese Argumente waren die wahren.

Ungleichheit bei ≥ x2 beschreibt den Bereich auf der kartesischen Ebene, die sich in der Schüssel Parabel, einschließlich der Grenzen Ihrer selbst. Und auf der angegebenen Sektoren finden Sie eine Lösung des Verhältnisses aufgezeichnet in der Form: x2 ≤ ≤ 6 – H. Es wird unten begrenzt durch die Linie Parabel gesperrt und oben gerade. Für Vertrauen wieder Prüfung machen, setzt man die Werte der Koordinaten eines beliebigen Punktes пренадлежащей zu diesem Bereich.

Hier (1; 4). Wir erhalten: 1 ≤ 4 ≤ 6 - 1, dann gibt es wieder richtige Verhältnis. Auch hier ist es sinnvoll, zu bemerken, dass Ungleichheit haben viele ähnliche Züge mit den Gleichungen, und zwar wesentliche dotiertUnterschiede.


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