वितरण समारोह के यादृच्छिक चर है । कैसे खोजने के लिए के वितरण समारोह में एक यादृच्छिक चर

खोजने के लिए वितरण के कार्यों यादृच्छिक चर और उनके चर, यह आवश्यक है करने के लिए अध्ययन के सभी peculiarities के इस क्षेत्र में ज्ञान है । वहाँ रहे हैं कई अलग अलग तरीके खोजने के लिए मनाया मूल्यों सहित, बदल रहा है एक चर पैदा करने और एक पल । वितरण है, एक अवधारणा का गठन किया है, जो इस तरह के तत्वों के रूप में फैलाव, के विभिन्नता है । हालांकि, वे विशेषताएँ केवल डिग्री के परिमाण के बिखरने.

और अधिक महत्वपूर्ण कार्यों के यादृच्छिक चर रहे हैं उन है कि कर रहे हैं जुड़ा हुआ है और स्वतंत्र है, और समान रूप से वितरित किया जाता है. उदाहरण के लिए, यदि X1 के वजन के एक बेतरतीब ढंग से चयनित व्यक्ति से एक जनसंख्या के पुरुषों, X2 का वजन है।, और Xn है के वजन के एक व्यक्ति के पुरुष जनसंख्या है, तो आप की जरूरत है जानने के लिए कैसे यादृच्छिक समारोह X वितरित किया जाता है. इस मामले में, लागू शास्त्रीय प्रमेय कहा जाता है, केंद्रीय सीमा है । यह करने के लिए अनुमति देता है कि दिखाने के लिए बड़े समारोह में इस प्रकार के मानक वितरण.

कार्यों में से एक यादृच्छिक चर

केंद्रीय सीमा प्रमेय का इरादा है लगभग करने के लिए माना जाता असतत मूल्यों, इस तरह के रूप में द्विपद और पॉसों. वितरण समारोह के यादृच्छिक चर माना जाता है पहली जगह में, पर सरल मूल्यों की एक चर है । उदाहरण के लिए, अगर एक्स एक सतत यादृच्छिक चर के साथ अपने खुद प्रायिकता वितरण है. इस मामले में, यह जांच करने के लिए कैसे को खोजने के घनत्व के समारोह Y का उपयोग कर, दो अलग अलग तरीकों, अर्थात् विधि के वितरण समारोह और परिवर्तन के चर. सबसे पहले, हम पर विचार केवल एक के लिए एक मूल्य है. तो आप को संशोधित करने की जरूरत तकनीक के परिवर्तन के चर खोजने के लिए अपने संभावना. अंत में, आप की जरूरत है पता करने के लिए के रूप में व्युत्क्रम समारोह का संचयी वितरण में मदद कर सकते हैं अनुकरण करने के लिए यादृच्छिक संख्या का पालन करें कि कुछ सुसंगत पैटर्न.

अधिक:

प्राकृतिक आदमी की जरूरतों: प्रकार के और तरीके को पूरा करने के लिए

प्राकृतिक आदमी की जरूरतों कई हैं । के रूप में और सामाजिक. यह मानव स्वभाव है करने के लिए कभी भी जरूरत है. और जब वह लगता है के लिए एक तीव्र आवश्यकता में कुछ भी है, वह कोशिश करता है को संतुष्ट करने के लिए. हालांकि, क्रम में सब कुछ.अवधारणाइससे पहले कि मै...

नाम के महीने में यूक्रेनी भाषा

नाम के महीने में यूक्रेनी और अलग अलग भाषाओं में स्पष्ट है अलग ढंग से. कई स्लाव भाषाओं में, वे समान हैं । चलो देखते हैं कि कैसे अलग-अलग नाम हैं, मौसम के अलग अलग देशों में.का नाम महीने में यूक्रेनीमें यूक्रेनी भाषा के नाम पर वर्ष के प्रत्येक महीने के ल...

निबंध के लिए "बुद्धि से हाय": क्यों इस खेल के लिए प्रासंगिक आधुनिक समाज?

A. S. Griboyedov लिखा एक नाटक बन गया है, जो नींव के शास्त्रीय रूसी साहित्य । उस में, वह बहुत सही रूप में वर्णित सामाजिक बुराइयों निहित हैं कि आधुनिक समाज में. इसलिए, निबंध का उत्पाद है "बुद्धि से हाय" अनिवार्य है स्कूल के पाठ्यक्रम में.के बारे में सं...

तरीकों के वितरण के लिए मनाया मूल्यों

विधि की प्रायिकता वितरण कार्य एक यादृच्छिक चर लागू है खोजने के क्रम में अपने घनत्व है । जब इस विधि का प्रयोग, प्रणाली की गणना करता है संचयी मूल्य. तो, फर्क यह प्राप्त करने के लिए प्रायिकता घनत्व. अब, यदि आप एक विधि के वितरण समारोह में, हम पर विचार कर सकते हैं कई उदाहरण हैं । चलो X – सतत यादृच्छिक चर एक निश्चित संभावना के साथ घनत्व.

क्या प्रायिकता घनत्व समारोह से x2? अगर तुम देखो या बनाने के ग्राफ समारोह (शीर्ष सही) y = x2, हम ध्यान दें कि यह बढ़ रही है एक्स और 0 और लेफ्टिनेंट;y और लेफ्टिनेंट;1. अब आप इस विधि का उपयोग करने के लिए मिल Y. पहले संचयी वितरण समारोह में, हम सिर्फ अंतर करने के लिए प्राप्त करने के लिए प्रायिकता घनत्व. ऐसा करके, हम 0 और लेफ्टिनेंट;y और लेफ्टिनेंट;1. आवंटन विधि सफलतापूर्वक कार्यान्वित किया जाता है खोजने के लिए जब Y Y – एक के समारोह में वृद्धि एक्स वैसे, f (y) को एकीकृत करने के लिए 1 पर y.

पिछले उदाहरण के बहुत सावधानी अनुक्रमण के लिए इस्तेमाल किया कार्यों और संचयी प्रायिकता घनत्व के साथ या तो एक्स या Y के साथ, करने के लिए संकेत मिलता है जो करने के लिए यादृच्छिक चर वे थे. उदाहरण के लिए, जब खोजने के संचयी वितरण समारोह Y मिला X. यदि आप चाहते हैं खोजने के लिए यादृच्छिक चर एक्स और इसकी घनत्व है, तो यह बस के लिए अलग की जरूरत है.

तकनीक के बदलते चर

हम एक्स – सतत यादृच्छिक चर दिया है एक वितरण समारोह के साथ एक आम भाजक f (x) है । इस मामले में, यदि आप का मान y पर X = v (Y), हम प्राप्त एक्स के मूल्य, उदाहरण के लिए v (y). अब, आप की जरूरत है प्राप्त करने के लिए वितरण समारोह की एक सतत यादृच्छिक चर वाई, जहां दूसरी समानता से जगह लेता है की परिभाषा Y. संचयी तीसरी समानता है क्योंकि समारोह का हिस्सा है, जिसके लिए यू (एक्स) ≤ y, यह भी सच है कि एक्स ≤ v (Y). और पिछले किया जाता है निर्धारित करने के लिए एक संभावना के सतत यादृच्छिक चर एक्स, अब हम की जरूरत है लेने के लिए के व्युत्पन्न वित्तीय वर्ष (y), संचयी वितरण समारोह Y प्राप्त करने के लिए प्रायिकता घनत्व के वाई ।

का सामान्यीकरण समारोह को कम

हम एक्स – सतत यादृच्छिक चर के साथ एक सामान्य f (x) परिभाषित किया गया है पर c1<एक्स और लेफ्टिनेंट;c2 है । और Y = u (X) - घटते समारोह एक्स के साथ व्युत्क्रम X = v (Y). इस समारोह के बाद से निरंतर है और कम है, वहाँ एक व्युत्क्रम समारोह, एक्स = v (Y).

करने के लिए इस सवाल का पता करने के लिए संभव है इकट्ठा मात्रात्मक डेटा का उपयोग करें और अनुभवजन्य संचयी वितरण समारोह । इस जानकारी के साथ और आकर्षक है, यह आप की जरूरत गठबंधन करने के लिए नमूना का मतलब है, मानक विचलन, मीडिया, और इतने पर ।

इसी तरह, यहां तक कि काफी सरल संभाव्य मॉडल हो सकता है की एक बड़ी संख्या में परिणाम है. उदाहरण के लिए, यदि आप एक सिक्का फ्लिप 332 बार. फिर नंबर के परिणामों से coups से अधिक गूगल (10100) – की संख्या है, लेकिन नहीं कम से कम 100 quintillion की तुलना में अधिक बार प्राथमिक कणों में जाना जाता है ब्रह्मांड. नहीं एक दिलचस्प विश्लेषण देता है कि जवाब करने के लिए प्रत्येक संभव परिणाम है. से अधिक की जरूरत है एक सरल अवधारणा है, इस तरह की संख्या के रूप में सिर या सबसे लंबे समय तक पाठ्यक्रम पूंछ । पर ध्यान केंद्रित करने के हित के मुद्दों, स्वीकार किए जाते हैं एक निश्चित परिणाम है । परिभाषा इस मामले में निम्नलिखित है: एक यादृच्छिक चर है एक वास्तविक समारोह से एक संभावना अंतरिक्ष.

सीमा की एक यादृच्छिक चर है कभी कभी बुलाया राज्य अंतरिक्ष. इस प्रकार, यदि X- मूल्य पर विचार है, तो N = X2, ऍक्स्प और crarr;X, X2 + 1, tan2 X bXc, और इतने पर । पिछले के लिए उन्हें गोलाई, X के निकटतम पूर्ण संख्या के लिए कहा जाता है, मंजिल समारोह है ।

वितरण कार्य

एक बार जब आप निर्धारित करने में रुचि रखते वितरण समारोह के यादृच्छिक चर एक्स, सवाल आम तौर पर हो जाता है निम्नलिखित: “क्या कर रहे हैं, संभावना है कि X में गिर जाता है के कुछ सबसेट के मूल्यों बी? और rdquo;. उदाहरण के लिए, B = {विषम संख्या}, B = {1} या B = {बीच 2 और 7} इंगित करने के लिए उन परिणाम है, जो है X का मान एक यादृच्छिक चर, में सबसेट. ए. इस प्रकार, ऊपर के उदाहरण में, यह संभव है करने के लिए घटनाओं का वर्णन है ।

{एक्स एक विषम संख्या}, {X 1} = {X> 1}, {X है के बीच 2 और 7} = {2 <एक्स और लेफ्टिनेंट;7}, मैच के लिए तीन विकल्प के लिए ऊपर के सबसेट बी कई गुणों के यादृच्छिक चर के साथ नहीं सहसंबद्ध विशिष्ट एक्स के बजाय, वे पर निर्भर करेगा कि कैसे X वितरित अपने मूल्यों. यह करने के लिए सुराग की परिभाषा है, जो निम्नानुसार पढ़ता है: वितरण समारोह के एक यादृच्छिक चर एक्स के द्वारा निर्धारित किया जाता है संचयी और मात्रात्मक टिप्पणियों.

यादृच्छिक चर और वितरण कार्यों

इस प्रकार, यह संभव है की गणना करने के लिए प्रायिकता वितरण समारोह के यादृच्छिक चर एक्स के लिए ले जाएगा के मूल्यों में अंतराल द्वारा घटाव. आप की जरूरत के बारे में सोचने के लिए शामिल किए जाने या अपवर्जन के समापन.

हम एक असतत यादृच्छिक चर, तो यह एक परिमित या गणनीय अनंत राज्य अंतरिक्ष. इस प्रकार, एक्स है के प्रमुखों की संख्या पर तीन स्वतंत्र flipcam पक्षपाती सिक्के, जो उगता है के साथ संभावना पी. की जरूरत है खोजने के लिए संचयी वितरण समारोह के असतत यादृच्छिक चर FX के लिए X. X दें जा की संख्या में चोटियों का एक संग्रह के तीन कार्ड । तो Y = X3 FX का उपयोग करना. FX के साथ शुरू होता है 0, के साथ समाप्त होता है 1, और की कमी नहीं है, में वृद्धि के साथ x मान है । FX संचयी वितरण समारोह के असतत यादृच्छिक चर X है निरंतर छोड़कर के लिए कूदता है । कूद FX निरंतर है. साबित करने के दावे सही निरंतरता के वितरण समारोह के गुण की संभावना यह संभव है कि दृढ़ संकल्प के साथ. यह इस तरह लगता है: एक निरंतर यादृच्छिक चर एक संचयी FX है, जो differentiable.

दिखाने के लिए कि यह कैसे हो सकता है, आप एक उदाहरण दे सकते हैं: एक लक्ष्य के साथ एक इकाई त्रिज्या. मुमकिन है. डार्ट समान रूप से वितरित पर निर्दिष्ट क्षेत्र है. के लिए कुछ और लैम्ब्डा;> 0. इस प्रकार, वितरण कार्य की सतत यादृच्छिक चर सुचारू रूप से वृद्धि हुई है । FX के गुण है एक वितरण समारोह है ।

लोगों को बस के लिए इंतजार बस स्टॉप पर जब तक यह आता है. निर्णय लेने के लिए अपने आप को क्या आप मना कर दिया, जब इंतजार तक पहुँचता है 20 मिनट. यहाँ आपको पता होना चाहिए संचयी वितरण फ़ंक्शन के लिए टी समय है जब लोगों को अभी भी हो जाएगा बस पर या जाना नहीं. के बावजूद तथ्य यह है कि संचयी वितरण समारोह प्रत्येक के लिए परिभाषित यादृच्छिक चर है । अभी भी काफी अक्सर आप का उपयोग करेगा अन्य विशेषताओं है: बड़े पैमाने पर के लिए एक असतत चर और घनत्व समारोह के वितरण के साथ यादृच्छिक चर है । आम तौर पर प्रदर्शित करता है के मूल्य का उपयोग कर इन दोनों में से एक मान.

बड़े पैमाने पर समारोह

इन मूल्यों पर विचार कर रहे हैं निम्नलिखित गुण है, जो एक आम (जन चरित्र). पहले इस तथ्य पर आधारित है कि संभावनाओं कर रहे हैं, नकारात्मक नहीं. दूसरे से इस प्रकार है कि अवलोकन के सभी सेट x=2S, राज्य अंतरिक्ष एक्स रूपों के विभाजन की संभावना को स्वतंत्रता एक्स उदाहरण: फेंकता एक पक्षपाती सिक्का जिसका परिणाम स्वतंत्र हैं. आप जारी रख सकते हैं कुछ कार्रवाई करने के लिए, जब तक आप कास्ट सिर. चलो X अर्थ यादृच्छिक चर देता है कि संख्या की पूंछ से पहले पहली सिर । और p का अर्थ है की संभावना किसी भी कार्रवाई की है ।

तो, जन संभावना समारोह निम्नलिखित विशेषता सुविधाओं की है । क्योंकि सदस्यों के रूप में एक संख्यात्मक अनुक्रम के साथ, एक्स एक ज्यामितीय यादृच्छिक चर है । ज्यामितीय चित्र c, सीआर, cr2,. , , , crn है राशि. और इस प्रकार sn एक सीमा होती है जब n 1 है । इस मामले में, अनंत राशि की सीमा है.

एक समारोह में जन के ऊपर रूपों में से एक ज्यामितीय अनुक्रम के साथ अनुपात. इसलिए, प्राकृतिक संख्या के साथ एक और बी. अंतर मूल्यों के बीच में वितरण समारोह के मूल्य के बराबर है के लिए बड़े पैमाने पर समारोह ।

मान घनत्व की एक परिभाषा है: एक्स एक यादृच्छिक चर के वितरण के जो FX है की एक व्युत्पन्न है । FX संतुष्ट है कि जेड xFX (x) = fX (t) dt-1 कहा जाता है, प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन । और X एक सतत यादृच्छिक चर है । में मुख्य प्रमेय पथरी के, घनत्व फ़ंक्शन के व्युत्पन्न है वितरण. संभावनाओं की गणना कर सकते हैं के मूल्यांकन के द्वारा निश्चित अभिन्न है ।

क्योंकि डेटा एकत्र किया जाता है भर में कई टिप्पणियों, यह विचार किया जाना चाहिए और अधिक से अधिक एक यादृच्छिक चर एक समय में अनुकरण करने के लिए प्रयोगात्मक प्रक्रिया है । नतीजतन, कई लोगों के लिए इन मूल्यों और उनके संयुक्त वितरण के लिए दो चर X1 और X2 मतलब इवेंट व्यूअर. के लिए असतत यादृच्छिक चर द्वारा परिभाषित कर रहे हैं संयुक्त संभावना बड़े पैमाने पर समारोह । के लिए निरंतर कर रहे हैं माना जाता fX1, X2, जहां संयुक्त प्रायिकता घनत्व से संतुष्ट है ।

स्वतंत्र यादृच्छिक चर

दो यादृच्छिक चर X1 और X2 स्वतंत्र हैं, तो किसी भी दो से संबंधित घटनाओं को एक ही हैं. शब्दों में, संभावना है कि दो घटनाओं {X1 2 बी 1} और {X2 2 बी 2} एक साथ होते हैं,y के बराबर है उत्पाद चर के ऊपर उल्लेख किया है, कि उनमें से प्रत्येक के लिए अलग-अलग है. के लिए स्वतंत्र असतत यादृच्छिक चर एक संयुक्त संभाव्यता बड़े पैमाने पर समारोह है, जो उत्पाद की सीमांत राशि के आयनों. के लिए निरंतर यादृच्छिक चर रहे हैं, स्वतंत्र, संयुक्त प्रायिकता घनत्व समारोह उत्पाद है, मूल्यों की सीमा के घनत्व. अंत में, हम निष्कर्ष निकाल एन स्वतंत्र टिप्पणियों x1, x2,. , , , xn, से उत्पन्न होने वाली एक अज्ञात घनत्व या बड़े पैमाने पर समारोह एफ. उदाहरण के लिए, अज्ञात पैरामीटर के लिए कार्यों में घातीय यादृच्छिक चर का वर्णन इंतजार कर के समय बस में.

का अनुकरण यादृच्छिक चर

मुख्य उद्देश्य के इस सैद्धांतिक क्षेत्र और ndash; उपकरण प्रदान करने के लिए की जरूरत को विकसित करने के लिए विश्लेषणात्मक प्रक्रियाओं के आधार पर ध्वनि के सिद्धांतों सांख्यिकीय विज्ञान है । इस प्रकार, एक बहुत ही महत्वपूर्ण विकल्प के आवेदन सॉफ्टवेयर की क्षमता उत्पन्न करने के लिए छद्म डेटा अनुकरण करने के लिए वास्तविक जानकारी. यह आप का अवसर देता है के लिए परीक्षण और परिष्कृत तरीकों के विश्लेषण से पहले आप की जरूरत है उन का उपयोग करने में डेटाबेस. यह आवश्यक है क्रम में करने के लिए जांच के गुणों के माध्यम से डेटा मॉडलिंग. कई लोगों के लिए अक्सर इस्तेमाल किया परिवारों के यादृच्छिक चर R प्रदान करता है आदेश के लिए उनके निर्माण. के लिए अन्य परिस्थितियों की आवश्यकता होगी तरीकों मॉडलिंग के लिए एक दृश्य के स्वतंत्र यादृच्छिक चर है कि एक सामान्य वितरण.

असतत यादृच्छिक चर और नमूना आदेश । आदेश नमूना प्रयोग किया जाता है बनाने के लिए सरल और स्तरीकृत यादृच्छिक नमूने हैं । एक परिणाम के रूप में, यदि आप में प्रवेश के अनुक्रम x, (x, 40) चुनता है 40 प्रविष्टियों एक्स के रूप में इस तरह के एक तरीका है कि सभी संस्करणों के 40 आकार की ही संभावना है. यह का उपयोग करता है आर डिफ़ॉल्ट करने के लिए नमूना प्रतिस्थापन के बिना. भी इस्तेमाल किया जा सकता के लिए मॉडलिंग असतत यादृच्छिक चर है । आप की जरूरत है प्रदान करने के लिए राज्य अंतरिक्ष वेक्टर एक्स और एक बड़े पैमाने पर समारोह एफ. चुनौती के लिए जगह = सच इंगित करता है कि नमूना के साथ होता है प्रतिस्थापन. तो देने के लिए एक नमूना के एन स्वतंत्र यादृच्छिक चर, के साथ आम जन समारोह एफ का उपयोग, नमूना (x, n, बदलने = सच, समस्या = एफ).

यह निर्धारित किया जाता है कि 1 है, कम से कम प्रतिनिधित्व मूल्य और 4 सभी के सर्वोच्च है. यदि कमांड समस्या = f छोड़ा जाता है, तो नमूना का चयन करेंगे समान रूप से मूल्यों में वेक्टर x. की जांच करने के लिए सिमुलेशन के खिलाफ बड़े पैमाने पर है कि समारोह के उत्पन्न डेटा कर सकते हैं, की ओर ध्यान आकर्षित करने के लिए एक डबल साइन बराबर होती है, ==. गिनती और टिप्पणियों ले कि प्रत्येक के लिए संभव मूल्य x है । आप एक तालिका बना सकते हैं. यह दोहराने के लिए लिए 1000 और की तुलना सिमुलेशन के साथ इसी समारोह की बड़े पैमाने पर ।

का चित्रण परिवर्तन की संभावना

पहली अनुकरण एक समान वितरण समारोह के यादृच्छिक चर u1, u2,. , , , संयुक्त राष्ट्र के अंतराल पर [0, 1]. के बारे में 10% से संख्या की सीमा में होना चाहिए [0,3, 0,4]. इस से मेल खाती है के 10% के लिए सिमुलेशन अंतराल पर [0,28, 0,38] के लिए एक यादृच्छिक चर से वितरण समारोह FX. इसी प्रकार, के बारे में 10% यादृच्छिक संख्या में होना चाहिए अंतराल [0,7, 0,8]. इस से मेल खाती है के 10% के लिए सिमुलेशन अंतराल पर [0,96 और 1.51] एक यादृच्छिक चर के वितरण के साथ समारोह FX. ये मान रहे हैं एक्स अक्ष पर प्राप्त किया जा सकता से लेने का उलटा FX. अगर एक्स एक सतत यादृच्छिक चर के साथ एक घनत्व fX सकारात्मक है कि हर जगह में अपने क्षेत्र, वितरण समारोह सख्ती से बढ़ रही है । इस मामले में FX एक व्युत्क्रम समारोह FX-1, के रूप में जाना जाता quantile समारोह है । FX (x) x केवल यदि x FX-1 (यू). रूपांतरण की संभावना इस प्रकार के विश्लेषण से यादृच्छिक चर U = FX (X).

FX के एक रेंज से 0 के लिए 1 है. इसे ले नहीं कर सकते मान 0 से नीचे या इसके बाद के संस्करण 1 है । यू के लिए मान 0 और 1 के बीच है. यदि आप अनुकरण कर सकते हैं U, यह आवश्यक है करने के लिए अनुकरण के साथ एक यादृच्छिक चर वितरण FX के माध्यम से समारोह quantile. व्युत्पन्न ले करने के लिए है कि देखने के घनत्व u के रेंज में 1. के बाद से यादृच्छिक चर U है वर्दी घनत्व के अंतराल में अपनी संभव मूल्यों के साथ, यह कहा जाता है वर्दी अंतराल पर [0, 1]. यह मॉडलिंग की है में R आदेश का उपयोग अगर. पहचान कहा जाता है संभाव्य परिवर्तन. देखें कि यह कैसे काम करता है के उदाहरण में trochilinae बोर्ड. X 0 और 1 के बीच, वितरण समारोह u = FX (x) = x2 है, और इसलिए quantile समारोह x = FX-1 (यू). आप अनुकरण कर सकते हैं स्वतंत्र टिप्पणियों के केंद्र से दूरी के नियंत्रण कक्ष डार्ट, इस प्रकार बनाने के एक समान यादृच्छिक चर U1, U2,. है , , संयुक्त राष्ट्र. वितरण समारोह और अनुभवजन्य आधार पर 100 सिमुलेशन के वितरण के डार्ट बोर्ड है । के लिए घातीय यादृच्छिक चर, शायद यू = FX (x) = 1 - exp (- x), और इसलिए x = - 1 ln (1 यू). कभी कभी तर्क है, के बराबर बयान है । इस मामले में, यह आवश्यक है को एकजुट करने के लिए दो भागों में बहस की. पहचान पार करने के समान है, सभी के लिए 2 {एस मैं मैं} S, के बजाय कुछ मूल्यों. संघ के सीआई बराबर है राज्य के लिए अंतरिक्ष S और प्रत्येक जोड़ी के पारस्परिक रूप से बाहर रखा गया है । के बाद से द्विपक्षीय तीन में बांटा गया है axioms. प्रत्येक परीक्षण पर आधारित है संभावना पी के लिए किसी भी सबसेट है । का उपयोग कर की पहचान सुनिश्चित करने के लिए है कि जवाब पर निर्भर नहीं करता है कि क्या endpoints के अंतराल है.

घातीय समारोह और अपने चर

प्रत्येक के लिएपरिणाम में सभी घटनाओं के अंत में इस्तेमाल किया दूसरे की संपत्ति की निरंतरता की संभावना माना जाता है, जो स्वयंसिद्ध है । वितरण के कानून के समारोह यादृच्छिक चर यहाँ है कि पता चलता है प्रत्येक निर्णय और प्रतिक्रिया.