دالة التوزيع متغير عشوائي. كيفية العثور على وظيفة التوزيع من متغير عشوائي

تاريخ:

2019-09-26 12:00:40

الآراء:

1348

تصنيف:

1مثل 0كره

حصة:

Table of contents:

للعثور على توزيع الوظائف من المتغيرات العشوائية المتغيرات ، فمن الضروري دراسة كل خصوصيات هذا الحقل من المعرفة. هناك عدة طرق مختلفة للعثور على القيم المرصودة ، بما في ذلك تغيير متغير توليد لحظة. التوزيع هو مفهوم ، والتي شكلت عناصر مثل التشتت ، من الاختلاف. إلا أنها تميز فقط درجة من حجم نثر.

دالة التوزيع متغير عشوائي

وظائف أكثر أهمية من المتغيرات العشوائية هي تلك التي ترتبط مستقلة ، الموزعه. على سبيل المثال ، إذا X1 هو وزن تم اختيارها عشوائيا الفرد من عدد السكان من الذكور, X2 هو وزن آخر ، ... ، Xn هو وزن شخص آخر من السكان الذكور ، ثم عليك أن تتعلم كيف عشوائية وظيفة X يتم توزيعها. في هذه الحالة تطبيق الكلاسيكية نظرية تسمى الحد المركزي. فإنه يسمح لإظهار أن الكبيرة n الدالة يلي القياسية التوزيعات.

وظائف واحد متغير عشوائي

نظرية الحد المركزي يهدف إلى تقريب اعتبار القيم المنفصلة مثل ذات الحدين وبواسون. دالة التوزيع من المتغيرات العشوائية تعتبر في المقام الأول على قيم بسيطة من متغير واحد. على سبيل المثال ، إذا كان X متغير عشوائي مستمر مع احتمال التوزيع. في هذه الحالة, فمن التحقيق في كيفية العثور على وظيفة كثافة من Y, باستخدام اثنين من أساليب مختلفة ، وهي طريقة توزيع وظيفة و تغيير متغير. أولا نحن ننظر فقط إلى قيمة واحدة. ثم تحتاج إلى تعديل أسلوب تغيير متغير للعثور على احتمال. أخيرا, أنت بحاجة إلى معرفته معكوس دالة التوزيع التراكمي يمكن أن تساعد على محاكاة الأرقام العشوائية التي تتبع بعض الأنماط الثابتة.

المزيد

أساليب التدريس التفاعلية في جامعة

أساليب التدريس التفاعلية في جامعة

أساليب التدريس التفاعلية هي واحدة من أهم وسائل تحسين التدريب المهني من الطلاب في التعليم العالي. المعلم هو الآن لا يكفي أن تكون ببساطة المختصة في الانضباط ، وإعطاء المعرفة النظرية في الفصول الدراسية. تحتاج بعض نهج مختلف الحديثة في العملية التعليمية.ن...

سكان البرازيل

سكان البرازيل

 البرازيل الذي أعداد السكان في المرتبة الخامسة المرتبة الثانية بعد الهند والصين وإندونيسيا وأمريكا – متنوعة جدا البلد. لعدة مئات من السنين الأمة أصبح من أهم العرقية-الثقافية والتعليم. سكان البرازيل هو أكثر من مائة القوميات والشعوب. في هذا ...

مستعمرة من بريطانيا العظمى

مستعمرة من بريطانيا العظمى

مستعمرة من بريطانيا – العديد من المناطق في جميع أنحاء العالم ، الذين تم القبض عليهم ، تؤخذ تحت الحماية أو بعض الوسائل المكتسبة بين 16 و 18 قرون واحدة من أقوى الإمبراطوريات في الماضي – البريطانية. وكان الهدف من التنمية الإقليمية. خلال الفت...

طرق توزيع القيم المرصودة

طريقة التوزيع الاحتمالي وظائف متغير عشوائي هو المعمول به في أجل العثور على كثافته. عند استخدام هذا الأسلوب ، يقوم النظام بحساب القيمة التراكمية. ثم التفريق للحصول على كثافة الاحتمال. الآن, إذا كان لديك طريقة التوزيع وظيفة ، يمكن أن نعتبر عدة أمثلة. اسمحوا X – متغير عشوائي مستمر مع احتمال بعض الكثافة.

ما هو دالة الكثافة الاحتمالية من x2? إذا كنت تبحث أو بناء على الرسم البياني للدالة (أعلى اليمين) y = x2, ونلاحظ أن زيادة X و 0 <y<1. الآن يجب عليك استخدام هذا الأسلوب للبحث عن Y. الأول هو دالة التوزيع التراكمي, نحن فقط بحاجة إلى التفريق للحصول على كثافة الاحتمال. وبذلك نحصل على 0<y<1. تخصيص طريقة تنفيذها بنجاح أن تجد Y عندما Y – وظيفة من زيادة X. بالمناسبة ، f (y) يدمج إلى أكثر من 1 y.

في المثال الأخير من قدر كبير من الحذر المستخدمة في الفهرسة وظائف التراكمي كثافة الاحتمال إما X أو Y ، للإشارة إلى متغير عشوائي ينتمون إليها. على سبيل المثال, عند العثور على دالة التوزيع التراكمي Y حصلت X. إذا كنت تريد أن تجد المتغير العشوائي X و كثافته, ثم تحتاج فقط إلى التفريق.

تقنية تغيير المتغيرات

اسمحوا X – متغير عشوائي مستمر نظرا وظيفة التوزيع مع قاسم مشترك f (x). في هذه الحالة, إذا وضعت قيمة y عند X = v (Y) ، نحصل على قيمة x ، على سبيل المثال الخامس (y). الآن تحتاج إلى الحصول على وظيفة التوزيع من متغير عشوائي مستمر ي. أين المساواة تجري من تعريف Y. التراكمي الثالثة المساواة لأن جزءا من الوظيفة التي u (X) &le ؛ y, وصحيح أيضا أن X &le ؛ الخامس (Y). و آخر يتم تنفيذه لتحديد احتمال استمرار المتغير العشوائي X. الآن نحن بحاجة إلى اتخاذ مشتق من السنة المالية (y) التوزيع التراكمي الدالة Y للحصول على كثافة الاحتمال من ي.

دالة التوزيع المستمر المتغيرات العشوائية

تعميم وظيفة تقليل

اسمحوا X &ndash ؛ مستمر متغير عشوائي مع f (x) تعرف على مدى c1<x<c2. والسماح Y = u (X) – تناقص الدالة X مع معكوس X = v (Y). لأن وظيفة مستمرة في التناقص ، هناك وظيفة عكسية X = v (Y).

لمعالجة هذه المسألة فمن الممكن لجمع البيانات الكمية و استخدام التجريبية دالة التوزيع التراكمي. مع هذه المعلومات و جذابة ، تحتاج إلى الجمع بين العينة يعني, والانحرافات المعيارية, وسائل الإعلام, وهلم جرا.

وبالمثل ، حتى بسيطة إلى حد ما نموذج احتمالي يمكن أن يكون عدد كبير من النتائج. على سبيل المثال ، إذا كنت الوجه عملة 332 مرات. ثم عدد من النتائج من الانقلابات أكثر من جوجل (10100) – عدد ، ولكن ليس أقل من 100 تريليون مرة أعلى من الجسيمات الأولية المعروفة في الكون. لا تحليل للاهتمام أن يعطي الجواب على كل نتيجة ممكنة. تحتاج إلى أكثر من مفهوم بسيط ، مثل عدد من رؤساء أو أطول الحال ذيول. إلى التركيز على القضايا ذات الاهتمام قبلت نتيجة معينة. التعريف في هذه الحالة هو التالي: متغير عشوائي هو وظيفة حقيقية من احتمال الفضاء.

مجموعة من متغير عشوائي يسمى أحيانا مساحة الدولة. وهكذا ، إذا كان X- النظر في القيمة ، إذا ن = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X bXc ، وهلم جرا. آخر منهم ، التقريب X إلى أقرب عدد صحيح ، ودعا الكلمة وظيفة.

توزيع المهام

بمجرد تحديد ترغب في وظيفة توزيع المتغير العشوائي x ، فإن السؤال يصبح عادة التالية: “ما هي فرص أن X يقع في بعض فرعية من قيم ب?&ردقوو]؛. على سبيل المثال, B = {الأعداد الفردية}, B = {أكثر من 1} أو ب = {ما بين 2 و 7} للإشارة إلى تلك النتائج التي يجب X قيمة متغير عشوائي في مجموعة فرعية أ. وهكذا ، في المثال أعلاه, يمكنك وصف الأحداث على النحو التالي.

{X هو عدد فردي}, {X 1} = {X> 1}, {X هو بين 2 و 7} = {2 <X <7} ، لتتناسب مع ثلاث خيارات فوق لمجموعات فرعية من B. العديد من خصائص المتغيرات العشوائية لا يرتبط محددة X. بل تعتمد على كيفية X توزع قيمها. وهذا يؤدي إلى تعريف ، والتي تنص على ما يلي: دالة التوزيع العشوائي المتغير x يتحدد التراكمي والكمية الملاحظات.

توزيع وظيفة منفصلة متغير عشوائي

المتغيرات العشوائية وتوزيع المهام

وهكذا ، فمن الممكن لحساب احتمال وظيفة توزيع المتغير العشوائي x سوف تأخذ القيم في الفاصل الزمني قبل الطرح. تحتاج إلى التفكير في إدراج أو استبعاد النهاية.

نسميه المتغير العشوائي المنفصل إذا كان لديه محدودة أو معدودة لانهائية مساحة الدولة. وهكذا X هو عدد الرؤوس على ثلاثة المستقلة flipcam منحازة القطع النقدية ، والتي ترتفع مع احتمال p. تحتاج إلى العثور على دالة التوزيع التراكمي منفصلة متغير عشوائي FX X. دع س ان يكون عدد من القمم في مجموعة من البطاقات الثلاث. ثم Y = X3 استخدام FX. FX يبدأ من 0 وينتهي مع 1 و لا تنقص مع زيادة قيم x. FX دالة التوزيع التراكمي منفصلة المتغير العشوائي X هو ثابت باستثناء يقفز. القفز FX مستمر. لإثبات التأكيد على حق استمرارية دالة التوزيع من خصائص احتمال هو ممكن مع العزيمة. يبدو مثل هذا: ثابت متغير عشوائي له التراكمي FX, وهو قابل للاختلاف.

لاظهار كيف يمكن أن يحدث هذا ، يمكنك إعطاء مثال: هدف مع الوحدة نصف قطرها. ويفترض. دارت يتم توزيعها بشكل موحد في منطقة محددة. بعض λ> 0. وهكذا فإن توزيع المهام المستمر المتغيرات العشوائية زيادة بسلاسة. FX لديه خصائص دالة التوزيع.

الناس في انتظار الحافلة في محطة الحافلات حتى وصولها. تقرر لنفسك ما كنت ترفض ، عندما الانتظار تصل إلى 20 دقيقة. هنا يمكنك أن تجد دالة التوزيع التراكمي T. وقت عندما كان الناس سوف يكون لا يزال في الحافلة أو لا تذهب. على الرغم من حقيقة أن دالة التوزيع التراكمي المحدد لكل متغير عشوائي. لا تزال في كثير من الأحيان سوف استخدام خصائص أخرى: كتلة منفصلة متغير دالة الكثافة توزيع المتغير العشوائي. وعادة ما يعرض القيمة باستخدام واحدة من هاتين القيمتين.

العثور على وظيفة التوزيع من متغير عشوائي

كتلة وظيفة

هذه القيم تعتبر الخصائص التالية التي شيوعا (الطابع الجماهيري). الأول يستند إلى حقيقة أن الاحتمالات ليست سلبية. الثانية يتبع من ملاحظة أن مجموعة من x=2, مساحة الدولة X أشكال التقسيم من احتمال حرية X. سبيل المثال: يلقي منحازة عملة نتائجها مستقلة. يمكنك الاستمرار في تنفيذ إجراءات معينة ، حتى كنت قد يلقي رؤساء. اسمحوا X يدل على المتغير العشوائي الذي يعطي عدد من ذيول قبل أول رئيس. و ف يدل على احتمال أي عمل.

لذا فإن كتلة احتمال الوظيفة التالية السمات المميزة. لأن أعضاء شكل التسلسل العددي, X هندسية متغير عشوائي. الهندسي الرسم البياني c, cr, cr2,. , , , crn له المبلغ. وبالتالي sn له حدود عندما n 1. في هذه الحالة, لا حصر له المبلغ هو الحد.

وظيفة من كتلة أعلاه أشكال هندسية التسلسل مع نسبة. ولذلك ، فإن الأعداد الطبيعية a و b. الفرق بين القيم في وظيفة التوزيع يساوي قيمة كتلة وظيفة.

قيم الكثافة تعريف: - X متغير عشوائي ، وتوزيع التي FX قد مشتق. FX التي تلبي زي xFX (x) = fX (t) dt-1 ، ويسمى احتمال دالة الكثافة. و X متغير عشوائي مستمر. الرئيسية في نظرية حساب التفاضل والتكامل ، دالة الكثافة هو مشتق من التوزيع. الاحتمالات يمكن أن تحسب من خلال تقييم واضح لا يتجزأ.

لأن البيانات التي يتم جمعها عبر عدة ملاحظات ، فإنه ينبغي النظر أكثر من متغير عشوائي في وقت لمحاكاة إجراء التجارب. ونتيجة لذلك ، فإن العديد من هذه القيم المشتركة توزيع اثنين من المتغيرات X1 و X2 يعني "عارض الأحداث". المتغيرات العشوائية المنفصلة يتم تعريف المشترك الاحتمالات وظيفة. المستمر تعتبر fX1, X2, حيث المشتركة كثافة الاحتمال هو راض.

المستقلة المتغيرات العشوائية

اثنين من المتغيرات العشوائية X1 و X2 مستقلة إذا كان أي اثنين من الأحداث ذات الصلة هي نفسها. في الكلمات ، واحتمال أن اثنين من الأحداث {X1 2 B1} و {X2 2 B2} تحدث في وقت واحد ، y يساوي المنتج من المتغيرات المذكورة أعلاه, أن كل واحد منهم على حدة. المستقلة والمتغيرات العشوائية المنفصلة مشتركا الاحتمالات وظيفة ، والتي هي نتاج الهامشية كمية الأيونات. المستمر المتغيرات العشوائية المستقلة المشتركة الكثافة الاحتمالية هي وظيفة المنتج من قيم الحد من الكثافة. وأخيرا ، فإننا نستنتج ن والملاحظات المستقلة x1, x2,. , , , xn, تنشأ من مجهول كثافة أو كتلة الدالة f. على سبيل المثال, المعلمة غير معروف في وظائف الهائل متغير عشوائي واصفا وقت انتظار الحافلة.

متغير عشوائي معين من خلال وظيفة التوزيع

محاكاة المتغيرات العشوائية

الهدف الرئيسي من هذه النظرية الميدانية – إلى توفير الأدوات اللازمة لتطوير الإجراءات التحليلية على أساس الصوت مبادئ العلوم الإحصائية. وبالتالي ، من المهم جدا الخيارات من تطبيق البرنامج هو القدرة على توليد الزائفة البيانات لمحاكاة المعلومات الفعلية. وهذا يعطي لك الفرصة لاختبار وصقل أساليب التحليل قبل أن تحتاج إلى استخدام في قواعد البيانات. هذا هو المطلوب من أجل التحقيق في خصائص البيانات من خلال النمذجة. العديد استخداما الأسر من المتغيرات العشوائية R يوفر أوامر خلقهم. عن ظروف أخرى سوف تحتاج إلى أساليب النمذجة سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة التي التوزيع المشترك.

منفصلة المتغيرات العشوائية العينة الأوامر. الأمر العينة المستخدمة لإنشاء بسيطة و الطبقية عينات عشوائية. ونتيجة لذلك ، إذا كنت أدخل التسلسل x العينة (x, 40) يختار 40 x في مثل هذه الطريقة أن جميع الإصدارات من 40 حجم لها نفس الاحتمال. ويستخدم R الافتراضي هو عينة من دون بديل. يمكن أيضا استخدام النمذجة العشوائية المنفصلة المتغيرات. تحتاج إلى توفير مساحة الدولة ناقلات x كتلة الدالة f. التحدي لاستبدال = صحيح يشير إلى أن العينات يحدث مع استبدال. ثم إعطاء عينة من ن المستقلة والمتغيرات العشوائية ، مع المشترك الشامل وظيفة و استخدام العينة (x, n, محل = صحيح ، غالبا = f).

تبين أن 1 هو الأقل تمثل قيمة و 4 هو أعلى من كل شيء. إذا كان الأمر غالبا = f حذف ، ثم عينة اختيار موحد من القيم في ناقلات x. للتحقق من محاكاة ضد كتلة الدالة التي تم إنشاؤها من البيانات ، يمكن أن يلفت الانتباه إلى مضاعفة يساوي علامة،==. عد والملاحظات التي تأخذ كل قيمة ممكنة ل x. يمكنك جعل الجدول. كرر هذا لمدة 1000 ومقارنة محاكاة مع وظيفة المقابلة الجماعية.

التوضيح التحول من احتمال

أولا محاكاة توزيع موحد وظيفة من المتغيرات العشوائية u1, u2,. , , , الامم المتحدة على الفترة [0 ، 1]. حوالي 10% من الأرقام يجب أن تكون في حدود [0,3, 0,4]. ويعادل 10% من المحاكاة على الفترة [0,28, 0,38] عن متغير عشوائي من وظيفة التوزيع FX. وبالمثل ، فإن حوالي 10% أرقام عشوائية يجب أن تكون في الفترة [0,7, 0,8]. ويعادل 10% من المحاكاة على الفترة [0,96 و 1.51] من متغير عشوائي مع وظيفة التوزيع FX. هذه القيم هي على المحور x يمكن الحصول عليها من تناول معكوس من FX. إذا كان X متغير عشوائي مستمر مع كثافة fX, إيجابية في كل مكان في هذا المجال, دالة التوزيع بدقة متزايدة. في هذه الحالة FX لديه معكوس الدالة FX-1, المعروفة باسم quantile وظيفة. FX (x) x فقط إذا FX x-1 (u). تحويل احتمال يلي من تحليل متغير عشوائي U = FX (X).

احتمال التوزيع وظيفة متغير عشوائي

FX مجموعة من 0 إلى 1. فإنه لا يمكن أن قيم أقل من 0 أو 1 أعلاه. على u القيم بين 0 و 1. إذا كان يمكنك محاكاة U ، فمن الضروري لمحاكاة متغير عشوائي مع توزيع العملات الأجنبية من خلال وظيفة quantile. اتخاذ مشتقة أن نرى أن كثافة u في النطاق من 1. منذ متغير عشوائي U لديها كثافة موحدة في الفترة من القيم الممكنة ، ويسمى موحدة على الفترة [0 ، 1]. وعلى غرار ذلك في R باستخدام الأمر إذا. هوية يسمى احتمالي التحول. نرى كيف يعمل في المثال trochilinae المجلس. X بين 0 و 1 ، دالة التوزيع u = FX (x) = x2, وبالتالي quantile الدالة x = FX-1 (u). يمكنك محاكاة المستقلة ملاحظات المسافة من مركز مدينة لوحة التحكم دارت ، وبالتالي خلق موحدة متغير عشوائي U1, U2,. , , الأمم المتحدة. وظيفة التوزيع و التجريبية على أساس 100 المحاكاة توزيع متن نبله. بالنسبة الهائل متغير عشوائي ، ويفترض u = FX (x) = 1 - exp (- x) ، وبالتالي س = - 1 ln (1 - u). في بعض الأحيان المنطق هو ما يعادل البيانات. في هذه الحالة, فمن الضروري توحيد شطري الحجة. هوية عبور مشابه لجميع 2 {S i} S بدلا من بعض القيم. اتحاد Ci يساوي مساحة الدولة S و كل زوج للطرفين استبعاد. منذ ثنائية ينقسم إلى ثلاثة البديهيات. كل اختبار يقوم على احتمال P. لأي فرعية. باستخدام الهوية للتأكد من أن الجواب لا تعتمد على ما إذا كانت النهاية الفاصل.

توزيع الوظيفة متغير عشوائي

الدالة الأسية و متغيراته

لكلوالنتيجة في كل الأحداث في نهاية المطاف استخدام الخاصية الثانية استمرارية احتمال ، والتي تعتبر من المسلمات. التوزيع قانون الوظيفة المتغيرات العشوائية هنا يظهر أن كل قرار الرد.


Article in other languages:

BE: https://tostpost.com/be/adukacyya/30959-funkcy-razmerkavannya-vypadkovay-vel-chyn-yak-znaysc-funkcyyu-razmerka.html

DE: https://tostpost.com/de/bildung/31689-verteilungsfunktion-zufallsvariable-als-eine-funktion-der-verteilung-d.html

ES: https://tostpost.com/es/la-educaci-n/31852-la-funci-n-de-distribuci-n-de-una-variable-aleatoria-c-mo-encontrar-la.html

HI: https://tostpost.com/hi/education/17344-the-distribution-function-of-the-random-variable-how-to-find-the-distr.html

KK: https://tostpost.com/kk/b-l-m/30926-funkciyalardy-b-lu-kezdeyso-shamalar-tabu-funkciyasyn-b-lu-kezdeyso-sh.html

PL: https://tostpost.com/pl/edukacja/30810-funkcje-dystrybucji-losowej-warto-ci-jak-znale-funkcj-rozk-adu-losowa.html

PT: https://tostpost.com/pt/educa-o/30840-a-fun-o-de-distribui-o-de-uma-vari-vel-aleat-ria-como-encontrar-a-fun-.html

UK: https://tostpost.com/uk/osv-ta/30909-funkc-rozpod-lu-vipadkovo-velichini-yak-znayti-funkc-yu-rozpod-lu-vipa.html






Alin Trodden - مؤلف المقال ، محرر
"مرحبا ، أنا ألين الدوس. أنا أكتب النصوص ، وقراءة الكتب ، والبحث عن الانطباعات. وأنا لست سيئة في أقول لك عن ذلك. أنا دائما سعيد للمشاركة في مشاريع مثيرة للاهتمام."

تعليقات (0)

هذه المادة قد لا تعليق أول

إضافة تعليق

أخبار ذات صلة

كيفية ترجمة كيلوواط إلى حصانا

كيفية ترجمة كيلوواط إلى حصانا

مثل حصانا ، تستخدم لتحديد الطاقة لفترة طويلة ، أصبحت مألوفة ومفهومة. إلا أن المزيد والمزيد من البلدان ، بما في ذلك روسيا ترفض الرسمية الاستخدام. قياس القدرات ، مع مجموع ما يعادلها في جميع أنحاء العالم هو واط. على الرغم من هذا, في ...

عن العالم من حولنا: ما هو شكل الأرض ؟

عن العالم من حولنا: ما هو شكل الأرض ؟

الفلكية المعتقدات البشرية تطورت على مر القرون. بدءا من مصر القديمة وربما حتى في وقت سابق من الحضارات العلماء موجها عينيه إلى السماء ، تسعى لمعرفة المزيد عن هيكل من عالمنا. مهتم بالطبع شكل وحجم كوكب الأرض.ومنذ ذلك الحين ونحن قد ذهب...

SPbSU كلية علم النفس و امتحانات القبول في درجة النجاح ، العنوان

SPbSU كلية علم النفس و امتحانات القبول في درجة النجاح ، العنوان

تأسست بموجب مرسوم من بيتر ، سانت-بطرسبورغ الجامعة منذ عام 1724 في التاريخ الروسي النفس مكانة خاصة ، كما هو الحال هنا كانت أول محاضرات حول هذا الموضوع في العلمانية المؤسسات التعليمية في روسيا. كان هنا في جامعة سانت بطرسبرغ الدولة ،...

السوفياتي دخول عصبة الأمم

السوفياتي دخول عصبة الأمم

بناء النظام الاشتراكي في الاتحاد السوفياتي جرت في ظروف صعبة. من ناحية تعزيز موقف التطويق الرأسمالي ، ومن ناحية أخرى – تهديدا متزايدا من الحرب. ألمانيا النازية انتهكت شروط المعاهدات الدولية بنشاط وتسليح تستعد لبدء عنيفة إعادة...

أساليب الرقابة المالية

أساليب الرقابة المالية

أشكال وأساليب الرقابة المالية تعكس المنظمة التحقق من أعلى الهيئات المالية-قطاع الائتمان فيما يتعلق الوحدات الهيكلية. لذلك من أشكال الرقابة المالية عرض طرق تجسيد إجراءات معينة من الهيئات التنظيمية. تصنيف أهم أشكال هذا المصطلح يعتمد...

كيفية دراسة عن

كيفية دراسة عن "5"? كيفية دراسة عن "تماما"?

طبعا الناس الذين يحضرون المدارس والكليات والجامعات في المقام الأول من أجل المعرفة. بيد أن درجات جيدة هي الأكثر وضوحا دليل على أن الناس هذه المعرفة المكتسبة. كيفية دراسة “5" ، لا تجلب نفسه إلى حالة من التعب المزمن و الحص...