Функцыі размеркавання выпадковай велічыні. Як знайсці функцыю размеркавання выпадковай велічыні

Каб знайсці функцыі размеркавання выпадковых велічынь і іх зменных, неабходна вывучыць усе асаблівасці гэтай галіне ведаў. Існуе некалькі розных метадаў для знаходжання разглядаемых значэнняў, у тым ліку змяненне зменнай і генераванне моманту. Размеркаванне - гэта такое паняцце, у аснову якога ляглі такія элементы, як дысперсія, варыяцыі. Аднак яны характарызуюць толькі ступень размаху рассейвання.

Больш важнымі функцыямі выпадковых велічынь з'яўляюцца тыя, якія звязаны і незалежныя і аднолькава размеркаваны. Напрыклад, калі X1 - вага выпадкова абранага індывіда з папуляцыі самцоў, X2 - вага іншага, ..., Xn - вага яшчэ аднаго чалавека з мужчынскага насельніцтва, тады, неабходна даведацца, як выпадковая функцыя X размяркоўваецца. У гэтым выпадку ўжываецца класічная тэарэма, званая цэнтральнай лімітавай. Яна дазваляе паказаць, што пры вялікіх n функцыя варта стандартным разьмеркаваных.

Функцыі адной выпадковай зменнай

Цэнтральная лімітавая тэарэма прызначана для апраксімацыі дыскрэтных разглядаемых значэнняў, такіх як биномиальное і Пуасона. Функцыі размеркавання выпадковых велічынь, разглядаюцца, у першую чаргу, на простых значэннях адной зменнай. Напрыклад, калі X з'яўляецца бесперапыннай выпадковай велічынёй, якая мае ўласнае размеркаванне верагоднасці. У дадзеным выпадку даследуецца, як знайсці функцыю шчыльнасці Y, выкарыстоўваючы два розных падыходу, а менавіта метад функцыі размеркавання і змены зменнай. Спачатку разглядаюцца толькі ўзаемна адназначныя значэння. Затым неабходна мадыфікаваць тэхніку змены зменнай, каб знайсці яе верагоднасць. Нарэшце, трэба даведацца, як зваротная функцыя кумулятыўнага размеркавання можа дапамагчы мадэляваць выпадковыя лікі, якія ідуць за пэўнымі паслядоўнымі схемамі.

Больш:

Нервовы імпульс, яго пераўтварэнне і механізм перадачы

Нервовая сістэма чалавека выступае своеасаблівым каардынатарам у нашым арганізме. Яна перадае каманды ад мозгу мускулатуры, органаў, тканін і апрацоўвае сігналы, якія ідуць ад іх. У якасці своеасаблівага носьбіта дадзеных выкарыстоўваецца нервовы імп...

Куды паступаць пасля 11 класа? Якую выбраць прафесію?

Пры выбары сваёй будучай прафесіі не варта абапірацца на чые-то рэкамендацыі і парады, тым больш не трэба падпарадкоўвацца сваім бацькам, якія даволі часта вырашаюць без вас самастойна, куды паступіць пасля 11 класа. Варта задумацца, наколькі паспяхо...

Крывяносная сістэма жывёл, як вынік эвалюцыйнага развіцця свету

Крывяносная сістэма жывёл прайшла доўгі шлях фарміравання ў ходзе эвалюцыйнага развіцця свету. Яна ўтварылася на месцы рудыментарных частак першаснай паражніны цела, якая ў вышэйшых жывёл была выцесненая целломом, або другаснай паражніной цела. У пра...

Методыка размеркавання разглядаемых значэнняў

Метад функцыі размеркавання верагоднасцяў выпадковай велічыні выкарыстоўваецца і ў дачыненні для таго, каб знайсці яе шчыльнасць. Пры выкарыстанні гэтага спосабу вылічаецца кумулятыўнае значэнне. Затым, дифференцируя яго, можна атрымаць шчыльнасць верагоднасці. Цяпер, пры наяўнасці метаду функцыі размеркавання, можна разгледзець яшчэ некалькі прыкладаў. Няхай X – бесперапынная выпадковая велічыня з пэўнай шчыльнасцю верагоднасці.

Якая функцыя шчыльнасці верагоднасці ад x2? Калі паглядзець ці пабудаваць графік функцыі (зверху і справа) у = х2, можна адзначыць, што яна з'яўляецца нарастаючым X і 0 <y<1. Зараз неабходна выкарыстоўваць гэты метад, каб знайсці Y. Спачатку знаходзіцца кумулятыўная функцыя размеркавання, проста трэба дыферэнцаваць каб атрымаць шчыльнасць верагоднасці. Паступаючы такім чынам, атрымліваем: 0<y<1. Метад размеркавання паспяхова рэалізаваны, каб знайсці Y, калі Y – нарастальная функцыя X. Дарэчы, f (y) інтэгруецца ў 1 над y.

У апошнім прыкладзе вялікую асцярожнасць выкарыстоўвалі для індэксавання кумулятыўных функцый і шчыльнасці верагоднасці альбо з дапамогай X, альбо з Y, каб паказаць, да якой выпадковай зменнай яны належалі. Напрыклад, пры знаходжанні кумулятыўнай функцыі размеркавання Y атрымалі X. Калі неабходна знайсці выпадковую велічыню X і яе шчыльнасць, то яе проста трэба дыферэнцаваць.

Тэхніка змены зменных

Няхай X – бесперапынная выпадковая велічыня зададзеная функцыяй размеркавання з агульным назоўнікам f (x). У гэтым выпадку, калі змясціць значэнне y ў X = v (Y), то атрымаецца значэнне x, напрыклад v (y). Цяпер, трэба атрымаць функцыю размеркавання бесперапыннай выпадковай велічыні Y. Дзе першае і другое роўнасць мае месца з вызначэння кумулятыўнай Y. Трэцяе роўнасць выконваецца таму, што часткі функцыі, для якой u (X) ≤ y, таксама дакладна, што X ≤ v (Y). І апошняе выконваецца для вызначэння верагоднасці ў бесперапыннай выпадковай велічыні X. Зараз трэба ўзяць вытворную ад FY (y), кумулятыўнай функцыі размеркавання Y, каб атрымаць шчыльнасць верагоднасці Y.

Абагульненне для функцыі памяншэння

Няхай X – бесперапынная выпадковая велічыня з агульным f (x), пэўная над c1<x<c2. І хай Y = u (X) – змяншальнай функцыя ад X з зваротнай X = v (Y). Паколькі функцыя бесперапынная і меншае, існуе зваротная функцыя X = v (Y).

Для рашэння гэтага пытання можна збіраць колькасныя дадзеныя і выкарыстоўваць эмпірычную кумулятивную функцыю размеркавання. Валодаючы гэтай інфармацыяй і апелюючы ёю, трэба камбінаваць ўзоры сродкаў, стандартныя адхіленні, медиаданные і гэтак далей.

Аналагічна нават даволі простая імавернасны мадэль можа мець велізарнае колькасць вынікаў. Напрыклад, калі перавярнуць манету 332 разы. Тады лік атрыманых вынікаў ад пераваротаў больш, чым у google (10100) – лік, але не менш за 100 квинтиллионов разоў вышэй элементарных часціц у вядомай сусвету. Не цікавы аналіз, які дае адказ на кожны магчымы вынік. Спатрэбіцца больш простая канцэпцыя, такая як колькасць галовак або самы доўгі ход хвастоў. Каб засяродзіць увагу на пытаннях, якія ўяўляюць цікавасць, прымаецца пэўны вынік. Вызначэнне ў дадзеным выпадку наступнае: выпадковая велічыня з'яўляецца рэчыўнай функцыяй з імавернасным прасторай.

Дыяпазон S выпадковай велічыні часам называюць прасторай станаў. Такім чынам, калі X- разгляданая значэнне, то так N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc і гэтак далей. Апошні з іх, акругляючы X да бліжэйшага цэлага ліку, называюць функцыяй полу.

Функцыі размеркавання

Як толькі вызначана цікавіць функцыя размеркавання выпадковай велічыні х, пытанне звычайна становіцца наступным: «Якія шанцы, што X трапляе ў нейкае падмноства значэнняў B?». Напрыклад, B = {няцотныя лікі}, B = {больш за 1} або B = {паміж 2 і 7}, каб паказаць гэтыя вынікі, якія маюць X, значэнне выпадковай велічыні, у падмностве А. Такім чынам, у прыведзеным вышэй прыкладзе можна апісаць падзеі наступным чынам.

{X - няцотны лік}, {X больш 1} = {X> 1}, {X знаходзіцца паміж 2 і 7} = {2 <X <7}, каб адпавядаць трох варыянтах вышэй для падмноства B. Многія ўласцівасці выпадковых велічынь не ўзаемазвязаны з канкрэтнай X. Яны, хутчэй, залежаць ад таго, як X размяркоўвае свае значэння. Гэта прыводзіць да вызначэння, якое гучыць наступным чынам: функцыя размеркавання выпадковай велічыні x кумулятыўны і вызначаецца колькаснымі назіраннямі.

Выпадковыя зменныя і функцыі размеркавання

Такім чынам, можна вылічыць верагоднасць таго, што функцыя размеркавання выпадковай велічыні x прыме значэння ў інтэрвале шляхам аднімання. Неабходна падумаць аб уключэнні або выключэнні канчатковых кропак.

Будзем называць выпадковую зменную дыскрэтнай, калі яна мае канчатковае або падліковая бясконцае прастору станаў. Такім чынам, X - лік галовак на трох незалежных флипсах зрушанай манеты, якая падымаецца з верагоднасцю p. Трэба знайсці кумулятивную функцыю размеркавання дыскрэтнай выпадковай велічыні FX для X. Няхай X - колькасць пікаў ў калекцыі з трох карт. То Y = X3 праз FX. FX пачынаецца з 0, заканчваецца на 1 і не памяншаецца з павелічэннем значэнняў x. Кумулятыўная функцыя FX размеркавання дыскрэтнай выпадковай велічыні X з'яўляецца пастаяннай, за выключэннем скачкоў. Пры скоку FX з'яўляецца бесперапыннай. Даказаць сцвярджэнне аб правільнай бесперапыннасці функцыі размеркавання з ўласцівасці верагоднасці можна з дапамогай вызначэння. Гучыць яно так: пастаянная выпадковая велічыня мае кумулятивную FX, якая дифференцируема.

Каб паказаць, як гэта можа адбыцца, можна прывесці прыклад: мішэнь з адзінкавым радыусам. Як мяркуецца,. дзіда раўнамерна размяркоўваецца на паказаную вобласць. Для некаторага λ> 0. Такім чынам, функцыі размеркавання бесперапынных выпадковых велічынь плаўна павялічваюцца. FX валодае ўласцівасцямі функцыі размеркавання.

Чалавек чакае аўтобуса на прыпынку, пакуль той не прыбудзе. Вырашыўшы для сябе, што адмовіцца, калі чаканне дасягне 20 хвілін. Тут неабходна знайсці кумулятивную функцыю размеркавання для T. Час, калі чалавек яшчэ будзе знаходзіцца на аўтавакзале ці не сыдзе. Нягледзячы на тое, што кумулятыўная функцыя размеркавання вызначана для кожнай выпадковай велічыні. Усё роўна досыць часта будуць выкарыстоўвацца іншыя характарыстыкі: маса для дыскрэтнай зменнай і функцыя шчыльнасці размеркавання выпадковай велічыні. Звычайна выводзіцца значэнне праз адно з гэтых двух значэнняў.

Масавыя функцыі

Гэтыя значэння разглядаюцца наступнымі ўласцівасцямі, якія маюць агульны (масавы характар). Першае заснавана на тым, што верагоднасці не адмоўныя. Другое вынікае з назірання, што набор для ўсіх x=2S, прастора станаў для X, утворыць разбіццё імавернаснай свабоды X. Прыклад: кідкі неаб'ектыўнай манеты, вынікі якой незалежныя. Можна працягваць выконваць пэўныя дзеянні, пакуль не атрымаецца кідок галоў. Няхай X пазначае выпадковую велічыню, якая дае колькасць хвастоў перад першай галавой. А p пазначае верагоднасць ў любым зададзеным дзеянні.

такім чынам, масавая функцыя верагоднасці мае наступныя характэрныя прыкметы. Паколькі члены ўтвараюць колькаснага паслядоўнасць, X называецца геаметрычнай выпадковай велічынёй. Геаметрычная схема c, cr, cr2,. , , , crn мае суму. І, такім чынам, sn мае мяжа пры n 1. У гэтым выпадку бясконцая сума з'яўляецца мяжою.

Функцыя масы вышэй ўтварае геаметрычную паслядоўнасць з стаўленнем. Такім чынам, натуральных лікаў a і b. Рознасць значэнняў у функцыі размеркавання роўная значэнню масавай функцыі.

Разгляданыя значэння шчыльнасці маюць вызначэнне: X - выпадковая велічыня, размеркаванне FX якой мае вытворную. FX, якая задавальняе Z xFX (x) = fX (t) dt-1, называецца функцыяй шчыльнасці верагоднасці. А X называецца бесперапыннай выпадковай велічынёй. У асноўнай тэарэмы вылічэння функцыя шчыльнасці з'яўляецца вытворнай размеркавання. Можна вылічыць верагоднасці шляхам вылічэнні вызначаных інтэгралаў.

Паколькі дадзеныя збіраюцца па некалькіх назіраннях, то павінна разглядацца больш адной выпадковай велічыні за раз, каб мадэляваць эксперыментальныя працэдуры. Такім чынам, мноства гэтых значэнняў і іх сумеснае размеркаванне для двух зменных X1 і X2 азначае прагляд падзей. Для дыскрэтных выпадковых велічынь вызначаюцца сумесныя імавернасны масавыя функцыі. Для бесперапынных разглядаюцца fX1, X2, дзе сумесная шчыльнасць верагоднасці задавальняецца.

Незалежныя выпадковыя зменныя

Дзве выпадковыя велічыні X1 і X2 незалежныя, калі любыя два звязаных з імі падзеі, такія жа. У словах верагоднасць таго, што два падзеі {X1 2 B1} і {X2 2 B2} адбываюцца адначасова,y роўна твору зменных названых вышэй, што кожная з іх адбываецца індывідуальна. Для незалежных дыскрэтных выпадковых велічынь маецца сумесная імавернасны масавая функцыя, якая з'яўляецца творам гранічнага аб'ёму іёнаў. Для бесперапынных выпадковых велічынь з'яўляюцца незалежнымі, сумесная функцыя шчыльнасці верагоднасці - твор значэнняў лімітавай шчыльнасці. У заключэнне разглядаюцца n незалежныя назірання x1, x2,. , , , xn, якія ўзнікаюць з невядомай шчыльнасці або масавай функцыі f. Напрыклад, невядомы параметр ў функцыях для экспанентнай выпадковай велічыні, якая апісвае час чакання аўтобуса.

Імітацыя выпадковых зменных

Асноўная мэта гэтай тэарэтычнай вобласці – прадаставіць інструменты, неабходныя для распрацоўкі умозаключительных працэдур, заснаваных на абгрунтаваных прынцыпах статыстычнай навукі. Такім чынам, адным з вельмі важных варыянтаў прымянення праграмнага забеспячэння з'яўляецца здольнасць генераваць псевдоданные для імітацыі фактычны інфармацыі. Гэта дае магчымасць тэставаць і ўдасканальваць метады аналізу перад неабходнасцю выкарыстання іх у рэальных базах. Гэта патрабуецца для таго, каб даследавалі ўласцівасці дадзеных з дапамогай мадэлявання. Для многіх часта выкарыстоўваюцца сямействаў выпадковых велічынь R дае каманды для іх стварэння. Для іншых абставінаў спатрэбяцца метады мадэлявання паслядоўнасці незалежных выпадковых велічынь, якія маюць агульнае размеркаванне.

Дыскрэтныя выпадковыя зменныя і ўзор Command. Каманда sample выкарыстоўваецца для стварэння простых і стратыфікаваная выпадковых выбарак. У выніку, калі ўводзіцца паслядоўнасць x, sample (x, 40) выбірае 40 запісаў з x такім чынам, што ўсе варыянты памеру 40 маюць аднолькавую верагоднасць. Гэта выкарыстоўвае каманду R па змаўчанні для выбаркі без замены. Можна выкарыстоўваць таксама для мадэлявання дыскрэтных выпадковых велічынь. Для гэтага трэба даць прастору станаў у вектары x і масавай функцыі f. Выклік для replace = TRUE паказвае, што сэмплирование адбываецца з заменай. Затым, каб даць ўзор з п незалежных выпадковых велічынь, якія маюць агульную масавую функцыю f, выкарыстоўваецца ўзор (x, n, replace = TRUE, prob = f).

Вызначана, што 1 з'яўляецца найменшай прадстаўленым значэннем, а 4 з'яўляецца найбольшым з усіх. Калі каманда prob = f апушчана, то ўзор будзе выбіраць раўнамерна з значэнняў у вектары x. Праверыць сімуляцыю супраць масавай функцыі, якая генеравала дадзеныя, можна звярнуўшы ўвагу на знак падвойнага роўнасці, ==. І пералічыўшы назірання, якія прымаюць кожнае магчымае значэнне для x. Можна зрабіць табліцу. Паўтарыць гэта для 1000 і параўнаць мадэляванне з адпаведнай функцыяй масы.

Ілюстраванне трансфармацыі верагоднасці

Спачатку змадэляваць аднастайныя функцыі размеркавання выпадковых велічынь u1, u2,. , , , un на інтэрвале [0, 1]. Каля 10 % лікаў павінна знаходзіцца ў межах [0,3, 0,4]. Гэта адпавядае 10 % сімуляцый на інтэрвале [0,28, 0,38] для выпадковай велічыні з паказанай функцыяй размеркавання FX. Сапраўды гэтак жа каля 10 % выпадковых лікаў павінна знаходзіцца ў інтэрвале [0,7, 0,8]. Гэта адпавядае 10 % сімуляцый на інтэрвале [0,96, 1,51] выпадковай велічыні з функцыяй размеркавання FX. Гэтыя значэння на вось x можа быць атрымана з ўзяцця зваротнай ад FX. Калі X - бесперапынная выпадковая велічыня з шчыльнасцю fX, станоўчай ўсюды ў сваёй вобласці, то функцыя размеркавання строга ўзрастае. У гэтым выпадку FX мае зваротную функцыю FX-1, вядомую як функцыя квантиля. FX (x) u толькі тады, калі x FX-1 (u). Пераўтварэнне верагоднасці вынікае з аналізу выпадковай зменнай U = FX (X).

FX мае дыяпазон ад 0 да 1. Ён не можа прымаць значэнні ніжэй 0 або вышэй 1. Для значэнняў u паміж 0 і 1. Калі можна мадэляваць U, то неабходна імітаваць выпадковую велічыню з размеркаваннем FX праз функцыю квантиля. Ўзяць вытворную, каб убачыць, што шчыльнасць u вар'іруецца ў межах 1. Паколькі выпадковая велічыня U мае пастаянную шчыльнасць па інтэрвалу сваіх магчымых значэнняў, яна называецца раўнамернай на адрэзку [0, 1]. Ён мадэлюецца ў R з дапамогай каманды runif. Ідэнтычнасць называецца імавернасным пераўтварэннем. Відаць, як яно працуе ў прыкладзе з дротильной дошкай. X паміж 0 і 1, функцыя размеркавання u = FX (x) = x2, і, такім чынам, функцыя квантиля x = FX-1 (u). Можна мадэляваць незалежныя назірання адлегласці ад цэнтра панэлі дроціка, і ствараючы пры гэтым раўнамерныя выпадковыя велічыні U1, U2,. , , Un. Функцыя размеркавання і эмпірычная заснаваныя на 100 сімуляцыях размеркавання дартс-дошкі. Для экспанентнай выпадковай велічыні, як мяркуецца, u = FX (x) = 1 - exp (- x), і, такім чынам, x = - 1 ln (1 - u). Часам логіка складаецца з эквівалентных сцвярджэнняў. У гэтым выпадку трэба аб'яднаць дзве часткі аргументу. Тоеснасць з перасячэннем аналагічна для ўсіх 2 {S i i} S, замест некаторага значэння. Аб'яднанне Ci роўна прасторы станаў S і кожная пара ўзаемна выключаная. Паколькі Bi - разбіта на тры аксіёмы. Кожная праверка заснавана на адпаведнай верагоднасці P. Для любога падмноства. Выкарыстоўваючы тоеснасць, каб пераканацца, што адказ не залежыць ад таго, ці ўключаны канчатковыя кропкі інтэрвалу.

Экспаненцыяльная функцыя і яе зменныя

Для кожнагавыніку ва ўсіх падзеях у канчатковым рахунку выкарыстоўваецца другое ўласцівасць бесперапыннасці верагоднасцяў, якое лічыцца аксиоматическим. Закон функцыі размеркавання выпадковай велічыні тут паказвае, што кожнай сваё рашэнне і адказ.