Дроб. Множанне дробаў звычайных, дзесятковых, змешаных

У курсе сярэдняй і старэйшай школы навучэнцы праходзілі тэму «Дробу». Аднак гэта паняцце значна шырэй, чым даецца ў працэсе навучання. Сёння паняцце дробу сустракаецца досыць часта, і не кожны можа правесці вылічэнні якога-небудзь выказвання, да прыкладу, множанне дробаў.

Што такое дроб?

Так гістарычна склалася, што дробавыя колькасці з'явіліся з-за неабходнасці вымяраць. Як паказвае практыка, часта сустракаюцца прыклады на вызначэнне даўжыні адрэзка, аб'ёму прастакутнага паралелепіпеда, плошчы прамавугольніка.

Першапачаткова вучні знаёмяцца з такім паняццем, як доля. Да прыкладу, калі падзяліць кавун на 8 частак, то кожнаму дастанецца па адной восьмай кавуна. Вось гэтая адна частка з васьмі і называецца доляй.

Доля, роўная ½ ад якой-небудзь велічыні, называецца паловай; ⅓ - трэцюю; ¼ - чвэрцю. Запісу выгляду ⁵/₈, ⁴/₅, ²/₄ называюць звычайнымі дробамі. Звычайная дроб падзяляецца на лічнік і назоўнік. Паміж імі знаходзіцца рыса дробу, або дробавая рыса. Дробную рысу можна намаляваць у выглядзе як гарызантальнай, так і нахільнай лініі. У дадзеным выпадку яна пазначае знак дзялення.

Назоўнік ўяўляе, на колькі аднолькавых доляй падзяляюць велічыню, прадмет; а лічнік – колькі аднолькавых доляй ўзята. Лічнік пішацца над дробавай рысай, назоўнік - пад яе.

Зручней за ўсё паказаць звычайныя дробы на координатном промні. Калі адзінкавы адрэзак падзяліць на 4 роўныя долі, пазначыць кожную долю лацінскай літарай, то ў выніку можна атрымаць выдатнае навочны дапаможнік. Так, пункт А паказвае долю, роўную ¹/₄ ад усяго адзінкавага адрэзка, а кропка Ў адзначае ²/₈ ад дадзенага адрэзка.

Больш:

Арабскія краіны. Палестына, Іарданія, Ірак

Сучасны свет ўмоўна падзяляецца на некалькі частак, характарызавальных якімі-небудзь асаблівасцямі. Заходняя і усходняя, еўрапейская і арабская культуры маюць сваю геапалітычную «прывязку». Сёння пад тэрмінам «арабскія краіны»...

Закон Гука

 ці Многія з нас задумваліся, якім дзіўным чынам паводзяць сябе прадметы пры ўздзеянні на іх? Напрыклад, чаму тканіна, калі мы расцягвае яе ў розныя бакі, можа доўга цягнуцца, а ў адзін момант раптам парвацца? І чаму той жа самы эксперымент куды...

Вялікая Кастрычніцкая рэвалюцыя

 Вялікая Кастрычніцкая рэвалюцыя ўяўляе сабой адзін з этапаў рускай рэвалюцыі, які адбыўся ў 1917 годзе, з прычыны чаго быў распушчаны Часовы ўрад (УП), а да ўлады прыйшлі бальшавікі (РСДРП, левыя эсэры, меншавікі і анархісты). Старое ўрад быў з...

Разнавіднасці дробаў

бываюць звычайныя Дробы, дзесятковыя, а таксама змешаныя колькасці. Акрамя таго, дробу можна падзяліць на правільныя і няправільныя. Гэтая класіфікацыя больш падыходзіць для звычайных дробаў.

Пад правільнай шротам разумеюць лік, у якога лічнік менш назоўніка. Адпаведна, няправільная дроб – лік, у якога лічнік больш назоўніка. Другі выгляд звычайна запісваюць у выглядзе змешанага колькасці. Такое выраз складаецца з цэлай і дробавай часткі. Напрыклад, 1½. 1 - цэлая частка, ½ - дробавая. Аднак калі трэба правесці якія-небудзь маніпуляцыі з выразам (дзяленне або множанне дробаў, іх скарачэнне або пераўтварэнне), змяшанае лік перакладаецца ў няправільную дроб.

Правільнае дробавую выраз заўсёды менш адзінкі, а няправільнае – больш або роўна 1.

Што тычыцца дзесятковых дробаў, то пад гэтым выразам разумеюць запіс, у якой прадстаўлена любы лік, назоўнік дробавага выразы якога можна выказаць праз адзінку з некалькімі нулямі. Калі дроб правільная, то цэлая частка у дзесятковай запісу будзе роўная нулю.

Каб запісаць дзесятковы дроб, трэба спачатку напісаць цэлую частку, аддзяліць яе ад дробавай з дапамогай коскі і потым ужо запісаць дробавую выраз. Неабходна памятаць, што пасля коскі лічнік павінен утрымліваць столькі ж лічбавых знакаў, колькі нулёў у назоўніку.

Прыклад. Прадставіць дроб 7²¹/₁₀₀₀ у дзесятковай запісу.

Алгарытм перакладу няправільнай дробу ў змешаных лік і наадварот

Запісваць у адказе задачы няправільную дроб некарэктна, таму яе трэба перавесці ў змяшанае лік:

• падзяліць лічнік на існуючы назоўнік;
• у канкрэтным прыкладзе няпоўнае прыватнае – цэлае;
• і рэшту – лічнік дробавай часткі, прычым назоўнік застаецца нязменным.

Прыклад. Перавесці няправільную дроб у змяшанае лік: ⁴⁷/₅.

Рашэнне. 47 : 5. Няпоўнае прыватнае складае 9, рэшту = 2. Значыць, ⁴⁷/₅ = 9²/₅.

Часам трэба прадставіць змяшанае лік у якасці няправільнай дробу. Тады трэба скарыстацца наступным алгарытмам:

• цэлая частка памнажаецца на назоўнік дробавага выразы;
• атрыманае твор дадаецца да числителю;
• вынік запісваецца ў лічніку, назоўнік застаецца нязменным.

Прыклад. Прадставіць лік у мяшаным выглядзе ў якасці няправільнай дробу: 9⁸/₁₀.

Рашэнне. 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 – лічнік.

Адказ: ⁹⁸/_10.

Множанне дробаў звычайных

Над звычайнымі дробамі можна здзяйсняць розныя алгебраічныя аперацыі. Каб перамнажаць два ліку, трэба лічнік перамнажаць з числителем, а назоўнік з назоўнікам. Прычым множанне дробаў з рознымі знаменателями не адрозніваецца ад творы дробавых лікаў з аднолькавымі знаменателями.

Здараецца, што пасля знаходжання выніку трэба скараціць дроб. У абавязковым парадку трэба максімальна спрасціць атрыманае выраз. Вядома, нельга сказаць, што няправільная дроб у адказе – гэта памылка, але і назваць верным адказам яе таксама цяжка.

Прыклад. Знайсці твор двух звычайных дробаў: ½ і ²⁰/₁₈.

Як відаць з прыкладу, пасля знаходжання творы атрымалася сократимая дробавая запіс. І лічнік, і назоўнік у дадзеным выпадку дзеліцца на 4, і вынікам выступае адказ ⁵/₉.

Множанне дзесятковых дробаў

Твор дзесятковых дробаў даволі моцна адрозніваецца ад творы звычайных па сваім прынцыпе. Такім чынам, множанне дробаў заключаецца ў наступным:

• дзве дзесятковыя дробы трэба запісаць адзін пад адным, так, каб крайнія правыя лічбы апынуліся адна пад іншы;
• трэба перамнажаць запісаныя колькасці, нягледзячы на коскі, то ёсць як натуральныя;
• падлічыць колькасць лічбаў пасля знака коскі ў кожным з лікаў;
• у атрыманым пасля перамнажэннем выніку трэба адлічыць справа столькі лічбавых знакаў, колькі змяшчаецца ў суме ў абодвух множителях пасля коскі, і паставіць які аддзяляе знак;
• калі лічбаў у творы аказалася менш, тады перад імі трэба напісаць столькі нулёў, каб пакрыць гэта колькасць, паставіць коску і прыпісаць цэлую частку, роўную нулю.

Прыклад. Вылічыць твор двух дзесятковых дробаў: 2,25 і 3,6.

Рашэнне.

Множанне змешаных дробаў

Каб вылічыць твор двух змешаных дробаў, трэба выкарыстоўваць правіла множання дробаў:

• перавесці колькасці ў мяшаным выглядзе ў няправільныя дробу;
• знайсці твор числителей;
• знайсці твор назоўніка;
• запісаць атрыманы вынік;
• максімальна спрасціць выраз.

Прыклад. Знайсці твор 4½ і 6²/_5.

Множанне ліку на дроб (дробу на лік)

Акрамя знаходжання творы двух дробаў, змешаных лікаў, сустракаюцца заданні, дзе трэба натуральны лік памножыць на дроб.

такім чынам, каб знайсці твор дзесятковай дробу і натуральнага ліку, трэба:

• запісаць лік пад шротам так, каб крайнія правыя лічбы апынуліся адна над іншай;
• знайсці твор, нягледзячы на коску;
• у атрыманым выніку аддзяліць цэлую частку ад дробавай з дапамогай коскі, отсчитав справа то колькасць знакаў, якое знаходзіцца пасля коскі ў дробу.

Каб памножыць звычайную дроб на лік, варта знайсці твор лічнік і натуральнага множніка. Калі ў адказе атрымліваецца сократимая дроб, яе варта пераўтварыць.

Прыклад. Вылічыць твор ⁵/₈ 12.

Рашэнне. ⁵/₈ * 12 = ^(5*12)/₈ = ⁶⁰/₈ = ³⁰/₄ = ¹⁵/₂ = 7¹/_2.

Адказ: 7¹/_2.

Як відаць з папярэдняга прыкладу, неабходна было скараціць атрыманы вынік і пераўтварыць няправільнае дробавую выраз у змяшанае лік.

Таксама множанне дробаў тычыцца і знаходжання творы ліку ў мяшаным выглядзе і натуральнага множніка. Каб перамнажаць гэтыя два ліку, варта цэлую частку змешанага множніка памножыць на лік, памножыць лічнік на гэта ж значэнне, а назоўнік пакінуць нязменным. Калі патрабуецца, трэба максімальна спрасціць атрыманы вынік.

Прыклад. Знайсці твор 9⁵/₆ 9.

Рашэнне. 9⁵/₆ х 9 = 9 х 9 + ^{(5 х 9)}/₆ = 81 + ⁴⁵/₆ = 81 + 7³/₆ = 88¹/_2.

Адказ: 88¹/_2.

Множанне на множнікі 10, 100, 1000 або 0,1; 0,01; 0,001

З папярэдняга пункта выцякае наступнае правіла. Для множання дзесятковай дробу на 10, 100, 1000, 10000 і г. д. трэба перасунуць коску направа на столькі сімвалаў, лічбаў, колькі нулёў у множителе пасля адзінкі.

Прыклад 1. Знайсці твор 0,065 і 1000.

Рашэнне. 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Адказ: 65.

Прыклад 2. Знайсці твор 3,9 і 1000.

Рашэнне. 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Адказ: 3900.

Калі трэба перамнажаць натуральнае лік і 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 і г. д., варта перасунуць налева коску ў атрыманым творы на столькі сімвалаў, лічбаў, колькі нулёў знаходзіцца да адзінкі. Калі неабходна, перад натуральным лікам запісваюцца нулі ў дастатковай колькасці.

Прыклад 1. Знайсці твор 56 і 0,01.

Рашэнне. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Адказ: 0,56.

Прыклад 2. Знайсці твор 4 і 0,001.

Рашэнне. 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Адказ: 0,004.

такім чынам, знаходжанне творы розных дробаў не павінна выклікаць цяжкасцяў, хіба што падлік выніку; у такім выпадку без калькулятара проста не абысціся.