Ірацыянальныя ўраўненні і спосабы іх вырашэння

Вывучаючы алгебру, школьнікі сутыкаюцца з раўнаннямі многіх відаў. Сярод тых з іх, якія найбольш простыя, можна назваць лінейныя, якія змяшчаюць адну невядомую. Калі тэмпература ў матэматычным выразе ўзводзіцца ў пэўную ступень, то раўнанне называюць квадратным, кубічных, биквадратным і гэтак далей. Названыя выразы могуць утрымліваць рацыянальныя лікі. Але існуюць таксама ірацыянальныя ўраўненні. Ад іншых яны адрозніваюцца наяўнасцю функцыі, дзе невядомае знаходзіцца пад знакам радыкала (гэта значыць чыста вонкава зменную тут можна ўбачыць напісанай пад квадратным коранем). Рашэнне ірацыянальных раўнанняў мае свае характэрныя асаблівасці. Пры вылічэнні значэння зменнай для атрымання правільнага адказу іх варта абавязкова ўлічваць.

«Невымоўныя словамі»

Не сакрэт, што старажытныя матэматыкі аперавалі ў асноўным рацыянальнымі лікамі. Да такіх адносяцца, як вядома, цэлыя, якія выражаюцца праз звычайныя і перыядычныя дзесятковыя дробы прадстаўнікі дадзенага супольнасці. Аднак навукоўцы Сярэдняга і Блізкага Усходу, а таксама Індыі, развіваючы трыганаметрыю, астраномію і алгебру, ірацыянальныя ўраўненні таксама вучыліся вырашаць. Да прыкладу, грэкі ведалі падобныя велічыні, але, облекая іх у слоўную форму, ўжывалі паняцце «алогос», што азначала «каму няма назову». Некалькі пазней еўрапейцы, пераймаючы ім, называлі падобныя лікі «глухімі». Ад усіх астатніх яны адрозніваюцца тым, што могуць быць прадстаўлены толькі ў форме бясконцай непериодической дробу, канчатковае лікавае выраз якой атрымаць проста немагчыма. Таму часцей падобныя прадстаўнікі царства лікаў запісваюцца ў выглядзе лічбаў і знакаў як некаторы выраз, якое знаходзіцца пад коранем другі ці большай ступені.

Больш:

Нервовы імпульс, яго пераўтварэнне і механізм перадачы

Нервовая сістэма чалавека выступае своеасаблівым каардынатарам у нашым арганізме. Яна перадае каманды ад мозгу мускулатуры, органаў, тканін і апрацоўвае сігналы, якія ідуць ад іх. У якасці своеасаблівага носьбіта дадзеных выкарыстоўваецца нервовы імп...

Куды паступаць пасля 11 класа? Якую выбраць прафесію?

Пры выбары сваёй будучай прафесіі не варта абапірацца на чые-то рэкамендацыі і парады, тым больш не трэба падпарадкоўвацца сваім бацькам, якія даволі часта вырашаюць без вас самастойна, куды паступіць пасля 11 класа. Варта задумацца, наколькі паспяхо...

Крывяносная сістэма жывёл, як вынік эвалюцыйнага развіцця свету

Крывяносная сістэма жывёл прайшла доўгі шлях фарміравання ў ходзе эвалюцыйнага развіцця свету. Яна ўтварылася на месцы рудыментарных частак першаснай паражніны цела, якая ў вышэйшых жывёл была выцесненая целломом, або другаснай паражніной цела. У пра...

На падставе вышэйсказанага паспрабуем даць вызначэнне иррациональному раўнанні. Падобныя выразы змяшчаюць так званыя «каму няма назову колькасці», запісаныя з выкарыстаннем знака квадратнага кораня. Яны могуць прадстаўляць сабой разнастайныя даволі складаныя варыянты, але ў сваёй наипростейшей форме маюць такі выгляд, як на фота ніжэй.

Пераступіў да рашэння ірацыянальных ураўненняў, перш-наперш неабходна вылічыць вобласць дапушчальных значэнняў зменнай.

ці Мае сэнс выраз?

Неабходнасць праверкі атрыманых значэнняў вынікае з уласцівасцяў арыфметычнага квадратнага кораня. Як вядома, падобнае выраз прымальна, і мае які-небудзь сэнс толькі пры пэўных умовах. У выпадках кораня цотным ступені ўсё подкоренные выразы павінны быць станоўчымі або раўняцца нулю. Калі дадзенае ўмова не выконваецца, то прадстаўленая матэматычная запіс не можа лічыцца асэнсаванай.

Прывядзём канкрэтны прыклад, як рашаць ірацыянальныя ўраўненні (на фота ніжэй).

У дадзеным выпадку відавочна, што названыя ўмовы ні пры якіх значэннях, якія прымаюцца шуканай велічынёй, выконвацца не могуць, так як атрымліваецца, што 11 ≤ x ≤ 4. А значыць, рашэннем можа з'яўляцца толькі Ø.

Метад аналізу

З вышэйапісанага становіцца зразумела, як вырашаць ірацыянальныя раўнанне некаторых тыпаў. Тут дзейсным спосабам можа апынуцца просты аналіз.

Прывядзём шэраг прыкладаў, якія зноў наглядна гэта прадэманструюць (на фота ніжэй).

У першым выпадку пры ўважлівым разглядзе выказвання адразу аказваецца гранічна ясна, што сапраўдным яно быць не можа. Сапраўды, бо ў левай частцы роўнасці павінна атрымлівацца станоўчае лік, якое ніяк не здольна апынуцца роўным -1.

Ва другім выпадку сума двух станоўчых выразаў можа лічыцца роўнай нулю, толькі толькі калі х - 3 = 0 і х + 3 = 0 адначасова. А падобнае зноў немагчыма. І значыць, у адказе зноў варта пісаць Ø.

Трэці прыклад вельмі падобны на ўжо разгледжаны раней. Сапраўды, бо тут умовы ОДЗ патрабуюць, каб выконвалася наступнае абсурднае няроўнасць: 5 ≤ х ≤ 2. А падобнае раўнанне аналагічным чынам ніяк не можа мець разумных рашэнняў.

Неабмежаваную набліжэнне

Прырода ірацыянальнага найбольш ясна і поўна можа быць растлумачаная і спазнаная толькі праз бясконцы шэраг лікаў дзесятковай дробу. А канкрэтным, яркім прыкладам з членаў гэтага сямейства з'яўляецца πі. Не без падстаў мяркуецца, што гэтая матэматычная канстанта была вядомая з старажытных часоў, используясь пры вылічэнні даўжыні акружнасці і плошчы круга. Але сярод еўрапейцаў яе ўпершыню ўжылі на практыцы ангелец Уільям Джонс і швейцарац Леанард Эйлер.

Узнікае гэтая канстанта наступным чынам. Калі параўноўваць самыя розныя па даўжыні акружнасці, то стаўленне іх даўжыні і дыяметраў ў абавязковым парадку роўныя аднаму і таму ж ліку. Гэта і ёсць πі. Калі выказаць яго праз звычайную дроб, то атрымаем прыблізна 22/7. Упершыню гэта зрабіў вялікі Архімед, партрэт якога прадстаўлены на малюнку вышэй. Менавіта таму падобнае лік атрымала яго імя. Але гэта не відавочнае, а набліжанага да значэнне ледзь ці не самага дзіўнага з лікаў. Геніяльны вучоны з дакладнасцю да 0,02 знайшоў шуканую велічыню, але, пасутнасці, дадзеная канстанта не мае рэальнага значэння, а выяўляецца як 3,1415926535… Яна ўяўляе сабой бясконцы шэраг лічбаў, неабмежавана набліжаючыся да нейкага міфічнага значэнні.

Узвядзенне ў квадрат

Але вернемся да ірацыянальным раўнаннях. Каб адшукаць невядомае, у дадзеным выпадку вельмі часта звяртаюцца да простага метаду: ўзводзяць абедзве часткі наяўнага роўнасці ў квадрат. Падобны спосаб звычайна дае добрыя вынікі. Але варта ўлічваць падступства ірацыянальных велічынь. Усе атрыманыя ў выніку гэтага карані неабходна правяраць, бо яны могуць не падысці.

Але працягнем разгляд прыкладаў і пастараемся знайсці зменныя зноў прапанаваным спосабам.

Зусім нескладана, ужыўшы тэарэму Віета, знайсці шуканыя значэння велічынь пасля таго, як у выніку пэўных оперций ў нас утварылася квадратнае раўнанне. Тут атрымліваецца, што сярод каранёў будуць 2 і -19. Аднак пры праверцы, падставіўшы атрыманыя значэнне ў першапачатковае выраз, можна пераканацца, што ні адзін з гэтых каранёў не падыходзіць. Гэта частая з'ява ў ірацыянальных раўнаннях. Значыць, наша дылема зноў не мае рашэнняў, а ў адказе варта паказаць пустое мноства.

Прыклады посложней

У некаторых выпадках патрабуецца ўзводзіць у квадрат абедзве часткі выказвання не адзін, а некалькі разоў. Разгледзім прыклады, дзе патрабуецца паказаны. Іх можна ўбачыць ніжэй.

Атрымаўшы карані, не забываем іх правяраць, бо могуць узнікнуць лішнія. Варта патлумачыць, чаму такое магчыма. Пры ўжыванні такога метаду адбываецца ў некаторым родзе рацыяналізацыя ўраўненні. Але пазбаўляючыся ад непажаданых нам каранёў, якія перашкаджаюць вырабляць арыфметычныя дзеянні, мы як бы пашыраем існуючую вобласць значэнняў, што багата (як можна зразумець) наступствамі. Прадбачачы падобнае, і мы вырабляем праверку. У дадзеным выпадку ёсць шанец пераканацца, што падыходзіць толькі адзін з каранёў: х = 0.

Сістэмы

Што ж рабіць у выпадках, калі патрабуецца ажыццявіць рашэнне сістэм ірацыянальных раўнанняў, і ў нас у наяўнасці не адно, а цэлых два невядомых? Тут паступаем гэтак жа, як у звычайных выпадках, але з улікам вышэйпералічаных уласцівасцяў дадзеных матэматычных выразаў. І ў кожнай новай задачы, зразумела, варта прымяняць творчы падыход. Але, зноў жа, лепш разгледзець на канкрэтным прыкладзе, прадстаўленым ніжэй. Тут не проста патрабуецца знайсці зменныя х і у, але і паказаць у адказе іх суму. Такім чынам, маецца сістэма, якая змяшчае ірацыянальныя велічыні (гл. фота ніжэй).

Як можна пераканацца, падобная задача не ўяўляе нічога звышнатуральна складанага. Патрабуецца толькі праявіць кемлівасць і здагадацца, што левая частка ўраўненні першага ўяўляе сабой квадрат сумы. Падобныя заданні сустракаюцца ў ЕГЭ.

Іррацыянальнае ў матэматыцы

Кожны раз, калі патрэба ў стварэнні новых відаў лікаў ўзнікала ў чалавецтва тады, калі яму не хапала «прастору» для вырашэння якіх-то раўнанняў. Ірацыянальныя лікі не з'яўляюцца выключэннем. Як сведчаць факты з гісторыі, упершыню вялікія мудрацы звярнулі на гэта ўвагу яшчэ да нашай эры, у VII стагоддзі. Зрабіў гэта матэматык з Індыі, вядомы пад імем Манава. Ён выразна разумеў, што з некаторых натуральных лікаў немагчыма атрымаць корань. Да прыкладу, да такіх адносяцца 2; 17 або 61, а таксама многія іншыя.

Адзін з піфагарэйцаў, мысліцель па імя Гиппас, прыйшоў да таго ж высновы, спрабуючы вырабляць вылічэнні з лікавымі выразамі бакоў пентаграмы. Адкрыўшы матэматычныя элементы, якія не могуць быць выяўленыя лічбавымі значэннямі і не валодаюць ўласцівасцямі звычайных лікаў, ён настолькі раззлаваў сваіх калегаў, што быў выкінуты за борт карабля, у моры. Справа ў тым, што іншыя піфагарэйцы палічылі яго развагі бунтам супраць законаў сусвету.

Знак радыкала: эвалюцыя

Знак кораня для выражэння лікавага значэння «глухіх» лікаў стаў выкарыстоўвацца пры вырашэнні ірацыянальных няроўнасцей і раўнанняў далёка не адразу. Упершыню аб радыкалы пачалі задумвацца еўрапейскія, у прыватнасці, італьянскія, матэматыкі прыблізна ў XIII стагоддзі. Тады ж для абазначэння прыдумалі задзейнічаць лацінскую R. Але нямецкія матэматыкі ў сваіх працах паступалі інакш. Ім больш спадабалася літара V. У германіі неўзабаве распаўсюдзілася абазначэнне V(2), V(3), што павінна было выказваць корань квадратны з 2, 3 і гэтак далей. Пазней у справу ўмяшаліся нідэрландцаў і перайначылі знак радыкала. А завяршыў эвалюцыю Рэнэ Дэкарт, давёўшы знак квадратнага кораня да сучаснага дасканаласці.

Збавенне ад ірацыянальнага

Ірацыянальныя ўраўненні і няроўнасці могуць ўключаць у сябе зменную не толькі пад знакам квадратнага кораня. Ён можа быць любой ступені. Самым распаўсюджаным спосабам пазбавіцца ад яго з'яўляецца магчымасць узвесці абедзве часткі роўнасці ў адпаведную ступень. Гэта асноўнае дзеянне, якое дапамагае пры аперацыях з ірацыянальным. Дзеянні ў цотных выпадках асабліва не адрозніваюцца ад тых, якія былі ўжо разабраны намі раней. Тут павінны быць улічаныя ўмовы неотрицательности подкоренного выразы, а таксама па заканчэнні рашэння неабходна вырабляць адсеў старонніх значэнняўзменных такім чынам, як было паказана ў разгледжаных ўжо прыкладах.

З дадатковых пераўтварэнняў, якія дапамагаюць знайсці правільны адказ, часта выкарыстоўваецца множанне выразы на спалучанае, а таксама нярэдка патрабуецца ўвядзенне новай зменнай, што палягчае рашэнне. У некаторых выпадках, каб адшукаць значэнне невядомых, мэтазгодна ўжываць графікі.