Die Summe der Winkel eines Dreiecks. Das Theorem über die Summe der Winkel eines Dreiecks

Ein Dreieck ist ein Polygon mit drei Seiten (drei Winkel). Am häufigsten Parteien bezeichnen die kleinen Buchstaben den entsprechenden Titel Case Buchstaben, die bezeichnen die gegenüberliegenden Gipfel. In diesem Artikel werden wir uns mit den Arten dieser geometrischen Formen, Theorem, die bestimmt, was ist gleich die Summe der Winkel eines Dreiecks.

Arten der größte Winkel

Es gibt die folgenden Arten von Polygon mit drei Eckpunkten:

• Ein spitzwinkliges, bei dem alle Ecken scharf;
• Rechtwinklig mit einem rechten Winkel, wobei die Seite, die es bilden, nennt man катетами Seite veröffentlicht konträr vorgesehenen Ecke, bezeichnet man als Hypotenuse;
• Tupougolnyj, wenn einer der Winkel stumpf;
• Gleichschenklig, bei dem zwei Seiten gleich, und man nennt Sie die seitlichen und die Dritte – die Basis des Dreiecks;
• Ein gleichseitiges, mit allen drei gleich langen Seiten.

Eigenschaften

Markieren Sie die grundlegenden Eigenschaften, die charakteristisch für jede Art von Dreieck:

• Neben der größeren Seite befindet sich stets der größere Winkel und Umgekehrt;
• Neben gleicher Größe Seiten liegen gleiche Winkel und Umgekehrt;
• Bei jedem Dreieck gibt es zwei scharfe Winkel;
• äußere Ecke mehr im Vergleich zu jedem inneren Ecke, nicht mit ihm Verwandte;
• Die Summe der irgendwelche zwei Ecken immer kleiner als 180 Grad;
• äußere Winkel gleich der Summe der anderen beiden Winkel, die nicht межуют mit ihm.

Das Theorem über die Summe der Winkel eines Dreiecks

Das Theorem besagt, dass wenn man alle Ecken dieser geometrischen Figur, die sich auf der euklidischen Ebene, dann ist Ihre Summe beträgt 180 Grad. Versuchen wir beweisen dieses Theorem.

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Lassen Sie uns ein beliebiges Dreieck mit Eckpunkten DMC. Durch die Spitze zeichnen wir die Linie M parallel zu der geraden KN (noch diese gerade nennt man euklidischen geraden). Darauf bemerken wir einen Punkt A so, dass der Punkt Zu und angeordnet waren Und von verschiedenen Seiten der geraden MN. Wir bekommen die gleichen Winkel MNA und KNM, die, wie die inneren, liegen und quer Schnitt gebildet werden MN gemeinsam mit geraden KN und MA, die parallel sind. Daraus folgt, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks, die sich an den Eckpunkten M und N, die gleich der Größe des Winkels CMA. Alle drei Winkel betragen, die gleich der Summe der Winkel CMA und MCH. Da die Daten die Ecken sind nach innen relativ einseitig parallelen geraden KN und MA bei KM Schnitt, Ihre Summe beträgt 180 Grad. Theorem bewiesen.

Folge

Aus dem oben bewiesenen Theorem ergibt sich folgende Konsequenz: jedes Dreieck hat zwei scharfe Winkel. Um dies zu beweisen, nehmen wir an, dass diese geometrische Figur hat nur eine scharfe Ecke. Auch kann man davon ausgehen, dass keiner der Ecken ist scharf. In diesem Fall muss mindestens zwei Winkel, deren Wert gleich oder größer als 90 Grad. Aber dann die Summe der Winkel größer als 180 Grad. Aber dies kann nicht, da nach Theorem Summe der Winkel eines Dreiecks gleich 180° - nicht mehr und nicht weniger. Hier ist es und war es notwendig zu beweisen.

Die Eigenschaft Außenecken

Was ist die Summe der Winkel eines Dreiecks sind die externen? Die Antwort auf diese Frage erhalten Sie, indem Sie eine der beiden Möglichkeiten. Die erste besteht darin, dass es notwendig ist, eine Menge von Ecken, die einzeln genommen bei jedem der Spitze, dann gibt es drei Winkel. Die zweite beinhaltet, was Sie brauchen, finden Sie die Summe aller sechs Ecken an den Eckpunkten. Für den Anfang werden wir uns mit dem ersten ausführungsbeispiel. Also, das Dreieck enthält sechs äußeren Ecken – bei jeder Spitze zwei. Jedes paar hat die gleichen untereinander die Ecken, da Sie vertikal sind:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Darüber hinaus ist bekannt, dass der externe Winkel am Dreieck die Summe der beiden inneren, die nicht межуются mit ihm. Also,

∟1 = ∟A+ ∟, ∟2 = ∟A+ ∟, ∟3 = ∟ + ∟S.

Daraus ergibt sich, dass die Menge an äußeren Ecken, die einzeln genommen in der Nähe von jedem Gipfel, gleich:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟Mit + ∟A + ∟ + ∟ + ∟C = 2 x (∟A + ∟ + ∟C).

Angesichts der Tatsache, dass die Summe der Winkel gleich 180 Grad ist, kann man behaupten, dass ∟A + ∟In + ∟C = 180°. Und es bedeutet, dass ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. Wenn gilt die zweite Variante, so ist die Summe der sechs Ecken wird jeweils größeren verdoppelt. Das heißt, die Menge an äußeren Ecken eines Dreiecks beträgt:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Rechtwinkliges Dreieck

Was ist gleich die Summe der Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks, sind scharf? Die Antwort auf diese Frage wiederum ergibt sich aus Theorem, das besagt, dass der Winkel in einem Dreieck in der Summe 180 Grad. Und klingt unsere Behauptung (die Eigenschaft) so: in einem rechtwinkligen Dreieck die Spitzen Winkel in der Summe 90 Grad. Seine Wahrhaftigkeit beweisen. Lassen Sie uns Dan Dreieck DMC, dessen ∟N = 90°. Sie müssen beweisen, dass ∟Zu + ∟M = 90°.

Also, entsprechend dem Satz über die Summe der Winkel ∟Bis + ∟M + ∟N = 180°. In unserer Bedingung gesagt, dass ∟N = 90°. Es stellt sich heraus, ∟Zu + ∟M + 90° = 180°. Das heißt ∟Zu + ∟M = 180° - 90° = 90°. Genau das beweisen sollte.

Zusätzlich zu den oben beschriebenen Eigenschaftenein rechtwinkliges Dreieck ist, können Sie hinzufügen und so:

• Ecken, die liegen gegen катетов, sind scharf;
• Hypotenuse треугольна größer als jede der катетов;
• Summe катетов mehr Hypotenuse;
• катет Dreieck, das liegt gegenüber dem Winkel von 30 Grad, die Hälfte der Hypotenuse, also gleich Ihrer Hälfte.

Als eine weitere Eigenschaft der geometrischen Formen unterscheiden können, den Satz des Pythagoras. Sie behauptet, dass in einem Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad (rechteckigen) die Summe der Quadrate катетов gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

Summe der Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks

Früher haben wir gesagt, dass равнобедренным nennt man ein Polygon mit drei Eckpunkten, mit zwei gleich langen Seiten. Bekannt ist die Eigenschaft der geometrie: die Winkel bei Ihrer Gründung gleich. Es beweisen.

Nehmen Sie das Dreieck DMC, das ist равнобедренным, KN ü seiner Basis. Von uns verlangt wird zu beweisen, dass ∟K = ∟N. Also nehmen wir an, dass MA – es ist bisektor unseres Dreiecks DMC. Dreieck µa angesichts der ersten Zeichen der Gleichheit gleich Dreieck PFUND. Nämlich durch die Bedingung gegeben, dass KM = NM, MA ist eine gemeinsame Seite, ∟1 = ∟2, da die MA – es ist bisektor. Mit der Tatsache der Gleichheit der beiden Dreiecke, kann man behaupten, dass ∟K = ∟N. Also, das Theorem bewiesen ist.

Aber interessiert uns, was ist die Summe der Winkel eines Dreiecks (gleichschenkligen). Da in dieser Hinsicht hatte er keine eigenen Eigenschaften, werden abgestoßen von Theorem, früher betrachteten. Das heißt, wir können bestätigen, dass ∟Zu + ∟M + ∟N = 180°, oder 2 x ∟Zu + ∟M = 180° (da ∟K = ∟N). Diese Eigenschaft werden wir nicht beweisen, da das Theorem über die Summe der Winkel eines Dreiecks ist erwiesen, zuvor.

Außer den betrachteten Eigenschaften von den Winkeln des Dreiecks, Platz haben und solche wichtigen Aussagen:

• In равнобедренном Dreieck Höhe, die heruntergezogen wurde auf der Basis, ist sowohl die Mediane, биссектрисой Winkel, der sich zwischen gleichberechtigten Parteien, sowie die Symmetrieachse seiner Gründung;
• Median (Winkelhalbierende, Höhe), durchgeführt, die zu den Seiten eine solche geometrische Form, gleich sind.

Gleichseitiges Dreieck

Man nennt Ihn auch den richtigen, das ist das Dreieck, in dem alle Parteien gleich. Und deshalb auch gleich die Ecken. Jeder von Ihnen ist 60 Grad. Beweisen Sie diese Eigenschaft.

Nehmen wir an, dass wir ein Dreieck DMC. Wir wissen, dass KM = NM = KN. Dies bedeutet, dass gemäß der Eigenschaft der Ecken, die sich bei der Gründung in равнобедренном Dreieck, ∟K = ∟M = ∟N. Da nach Theorem Summe der Winkel eines Dreiecks ∟Zu + ∟M + ∟N = 180°, 3 x ∟K = 180° oder ∟K = 60°, ∟M = 60°, ∟N = 60°. So ist die Behauptung bewiesen.Wie aus den oben genannten Beweise auf der Grundlage der Theoreme, die Summe der Winkel eines gleichseitigen Dreiecks, wie die Summe der Winkel eines anderen Dreiecks beträgt 180 Grad. Wieder beweisen dieses Theorem gibt es keine Notwendigkeit.

Es Gibt noch solche Eigenschaften, die typisch für die eines gleichseitigen Dreiecks:

• Median, bisektor, Höhe in einer solchen geometrischen Figur entsprechen, und deren Länge berechnet als (a x √3) : 2;
• Beschreiben, wenn rund um einen bestimmten Umfang eines Polygons, wird der Radius ist gleich (a x √3) : 3;
• Eintragen, wenn im Kreis ein gleichseitiges Dreieck, wird der Radius wird zwischen (a x √3) : 6;
• Die Fläche dieser geometrischen Form berechnet nach der Formel: (A2 x √3) : 4.

Tupougolnyj Dreieck

Nach der Definition тупоугольного eines Dreiecks, einer seiner Winkel liegt im Bereich von 90 bis 180 Grad. Aber angesichts der Tatsache, dass die beiden anderen Winkel der geometrischen Figuren scharf, kann gefolgert werden, dass Sie nicht größer als 90 Grad. Also, das Theorem über die Summe der Winkel eines Dreiecks arbeitet bei der Berechnung der Summe der Winkel in тупоугольном Dreieck. Es stellt sich heraus, wir können mit Sicherheit behaupten, gestützt auf die oben erwähnte Theorem, dass die Summe der Winkel тупоугольного eines Dreiecks sind 180 Grad. Wieder, dieses Theorem nicht braucht erneuten Beweis.