Suma kątów trójkąta. Twierdzenie o sumie kątów trójkąta

Trójkąt jest wielokąt, który ma trzy strony (kąty). Najczęściej strony oznaczają małymi literami odpowiadającymi заглавным liter, które oznaczają przeciwległe wierzchołki. W tym artykule zapoznamy się z widokiem tych figur geometrycznych, pitagorasa klucz, który określa, co równa się suma kątów trójkąta.

Rodzaje co do wielkości kątów

Istnieją następujące rodzaje wieloboku z trzema szczytami:

• остроугольный, u którego wszystkie kąty są ostre;
• Prostokątny ma jeden kąt prosty, przy czym strony, go tworzące, nazywają катетами, a strona, która jest umieszczona bezpośrednie przeciwieństwo rogu, zwane гипотенузой;
• тупоугольный, gdy jeden kąt rozwarty;
• Równoramienny, którego dwa boki równe, i nazywane są bocznymi, a trzecia ó podstawą trójkąta;
• Równoboczny ma wszystkie trzy równe strony.

Właściwości

Podkreślają główne właściwości, które są charakterystyczne dla każdego rodzaju trójkąta:

• Obok większą strony zawsze znajduje się większy kąt, i odwrotnie;
• Obok równych co do wielkości boków są równe kąty, i odwrotnie;
• U dowolnego trójkąta jest dwa ostrego kąta;
• średnica kąt większy w porównaniu z dowolnym wewnętrznym kącie, nie związanych z nim;
• Suma dowolnych dwóch kątów jest zawsze mniejsza niż 180 stopni;
• średnica kąt równa kwocie pozostałych dwóch kątów, które nie межуют z nim.

Twierdzenie o sumie kątów trójkąta

Twierdzenie mówi, że jeśli dodać, że wszystkie kąty tej geometryczną, która znajduje się na euklidesowej płaszczyzny, to ich suma będzie wynosić 180 stopni. Spróbujmy udowodnić tego twierdzenia.

Bardziej:

Główne etapy rozwoju psychiki w филогенезе

Rozwój psychiki w филогенезе charakteryzuje się kilkoma etapami. Rozważmy dwie główne historie związane z tym procesem.Филогенез - to historyczny rozwój, obejmującego miliony lat ewolucji, historię rozwoju różnych gatunków organizmów żywych.Ontogenez...

Co to jest gronkowiec i metody jego leczenia

Wielu w swoim życiu miał do czynienia z zakażeniem gronkowca. Dlatego konieczne jest posiadanie pełnej informacji o tej chorobie, aby w pełni zrozumieć, co dzieje się w organizmie. Więc co to jest gronkowiec? To bakterie, lub jedną z ich odmian, z kt...

Co studiuje morfologia

 Przed podjęciem się, że studiuje morfologia, należy zauważyć, że sam studiuje ten dział gramatyki. Tak, morfologia studiuje słowo jako część mowy, a także sposoby jego edukacji, jego formy, struktury i gramatyki wartości, a także poszczególne j...

Niech mamy dowolny trójkąt z wierzchołkami КМН. Przez szczyt M przeprowadzimy bezpośrednią równolegle do prostej KN (jeszcze tę prostą nazywają bezpośredni Euklidesa). Na nią należy pamiętać punkt A w ten sposób, że punkty K i A zlokalizowane były z różnych stron prostej MN. Otrzymujemy równe kąty AMN i KNM, które, jak i wewnętrzne, leżą) i tworzą się wskazującą MN w połączeniu z prostymi KN i MA, które są równoległe. Z tego wynika, że suma kątów trójkąta, znajdujących się przy szczytach M i N, jest równa wielkości kąta KMA. Wszystkie trzy kąta stanowią sumę, która jest równa sumie kątów KMA i МКН. Ponieważ kąty są wewnętrznymi jednostronne stosunkowo prostych równoległych KN i MA przy linii siecznej KM, ich suma wynosi 180 stopni. Twierdzenie jest udowodnione.

Śledztwo

Z wyżej z udowodnionego twierdzenia wynika następujący skutek: każdy trójkąt ma dwa ostrego kąta. Aby to udowodnić, powiedzmy, że ta figura geometryczna ma tylko jeden kąt ostry. Można również założyć, że żaden z rogów nie jest ostry. W tym przypadku powinno być co najmniej dwa kąty, których wartość jest równa lub przekracza 90 stopni. Ale wtedy suma kątów będzie więcej niż 180 stopni. A tak być nie może, ponieważ zgodnie z twierdzenia suma kątów trójkąta jest równa 180° - nie więcej i nie mniej. To trzeba było udowodnić.

Właściwość zewnętrznych narożników

Jaka jest suma kątów trójkąta, które są zewnętrznymi? Odpowiedź na to pytanie można uzyskać, stosując jeden z dwóch sposobów. Pierwszy polega na tym, że trzeba znaleźć sumę kątów, które pochodzą po jednym przy każdym szczycie, czyli trzech kątów. Drugi oznacza, że trzeba znaleźć sumę wszystkich sześciu kątów przy wierzchołkach. Na początek zajmiemy się pierwszym rozwiązaniem. Tak więc, trójkąt zawiera sześć zewnętrznych kątów ó w każdej górze na dwa. Każda para ma równe pomiędzy sobą kąty, ponieważ są one pionowe:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Poza tym, wiadomo, że zewnętrzny kąt u trójkąta równa się sumie dwóch wewnętrznych, które nie межуются z nim. Dlatego,

∟1 = ∟A + ∟Z, ∟2 = ∟A + ∟W ∟3 = ∟W + ∟.

Z tego okazuje się, że suma kątów zewnętrznych, które pochodzą pojedynczo w pobliżu każdego wierzchołka, będzie równa:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟Z + ∟A + ∟W + ∟W + ∟Z = 2 x (∟A + ∟W + ∟Z).

Biorąc pod uwagę fakt, że suma kątów jest równa 180 stopni, można stwierdzić, że ∟A + ∟W + ∟Z = 180°. A to znaczy, że ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. Jeśli stosuje się druga opcja, to suma sześciu kątów, odpowiednio, w większym dwa razy. Czyli suma kątów zewnętrznych trójkąta będzie wynosić:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Trójkąt Prostokątny

Co równa się suma kątów w trójkącie prostokątnym, które są ostre? Odpowiedź na to pytanie, to znowu wynika z twierdzenia, które mówi, że kąty w trójkącie w sumie składają się na 180 stopni. A brzmi nasze twierdzenie (właściwość) tak: w trójkącie prostokątnym ostre rogi sumują się do 90 stopni. Udowodnić jego prawdziwość. Niech nam dany trójkąt КМН, u którego ∟N = 90°. Należy udowodnić, że ∟Do + ∟M = 90°.

Tak Więc, zgodnie z twierdzenia o sumie kątów ∟Do + ∟M + ∟N = 180°. W naszym warunkiem jest napisane, że ∟N = 90°. Okazuje się, ∟Do + ∟M + 90° = 180°. Czyli ∟Do + ∟M = 180° - 90° = 90°. Właśnie to nam należało udowodnić.

Oprócz powyższych właściwościw trójkącie prostokątnym, można dodać i takie:

• Narożniki, które leżą przeciwko nóg, są ostre;
• гипотенуза треугольна więcej każdego z kątów;
• Suma kątów jest więcej przeciwprostokątnej;
• катет trójkąta, który leży naprzeciw kąta 30 stopni, dwa razy mniej przeciwprostokątnej, czyli równa się jej połowie.

Jak jeszcze jedną właściwość danej figury geometrycznej można wyróżnić twierdzenie Pitagorasa. Ona twierdzi, że w trójkącie z kątem 90 stopni (prostokątnym) suma kwadratów kątów jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Suma kątów trójkąta równoramiennego

Wcześniej mówiliśmy, że равнобедренным nazywają wielobok z trzema szczytami, zawierający dwie równe strony. Wiadomo to jest właściwość danej figury geometrycznej: kąty przy podstawie są równe. Udowodnimy to.

Weźmy trójkąt КМН, który jest равнобедренным, KN – jego podstawie. Od nas wymaga się udowodnienia, że ∟Do = ∟H. Tak więc, powiedzmy, że MA – to jest dwusieczna kąta naszego trójkąta КМН. Trójkąt ΜA z uwzględnieniem pierwszego znaku równości jest równa trójkąta МНА. A mianowicie warunkowe udzielone, że KM = NM, MA jest wspólną stroną, ∟1 = ∟2, ponieważ MA – to jest dwusieczna kąta. Wykorzystując fakt równości tych dwóch trójkątów, można stwierdzić, że ∟Do = ∟H. To znaczy, że twierdzenie jest udowodnione.

Ale nas interesuje, jaka jest suma kątów trójkąta (равнобедренного). Ponieważ w tym zakresie nie ma swoich cech, zaczniemy od twierdzenia, opisanego wcześniej. Czyli możemy stwierdzić, że ∟Do + ∟M + ∟N = 180°, lub 2 x ∟Do + ∟M = 180° (ponieważ ∟Do = ∟N). Ta właściwość udowadniać nie będziemy, ponieważ sama twierdzenie o sumie kątów trójkąta okazał wcześniej.

Oprócz omówionych właściwości o rogach trójkąta, mają miejsce takie ważne oświadczenia:

• W равнобедренном trójkącie wysokość, która została opuszczona na podłoże, jest jednocześnie dośrodkową, биссектрисой kąta, który znajduje się między równymi stronami, a także osią symetrii jego podłoża;
• Mediany (symetralne, wysokości), które odbyły się na boki taka geometryczne kształty, są równe.

Trójkąt Równoboczny

Nazywa się słuszne, to taki trójkąt, którego wszystkie boki są równe. A więc także równe i kąty. Każdy z nich wynosi 60 stopni. Udowodnimy to właściwość.

Załóżmy, że mamy trójkąt КМН. Wiemy, że KM = NM = KN. A to oznacza, że zgodnie z właściwością kątów, znajdujących się w bazie w равнобедренном trójkącie, ∟Do = ∟M = ∟H. Ponieważ zgodnie z twierdzenia suma kątów trójkąta ∟Do + ∟M + ∟N = 180°, 3 x ∟Do = 180° lub ∟Do = 60°, ∟M = 60°, ∟N = 60°. Tak więc, twierdzenie jest udowodnione.Jak widać z powyższego dowodu na podstawie twierdzenia, że suma kątów trójkąta równobocznego, jak i suma kątów dowolnego trójkąta wynosi 180 stopni. Ponownie udowodnić to twierdzenie nie jest to konieczne.

Istnieją jeszcze takie właściwości, charakterystyczne dla trójkąta równobocznego:

• Mediana, dwusieczna kąta, wysokość w takiej figurze geometrycznej są identyczne, a ich długość jest obliczana jako (a x √3) : 2;
• Jeśli to opisać wokół tego wielokąta, okręgu, to jego promień jest równy (a x √3) : 3;
• Jeśli wpisać w trójkąt równoboczny okrąg, to jej promień będzie wynosić (a x √3) : 6;
• Powierzchnia tej geometrycznej figury oblicza się według wzoru: (a2 x √3) : 4.

Тупоугольный trójkąt

Zgodnie z definicją тупоугольного trójkąta, jeden z jego kątów jest w przedziale od 90 do 180 stopni. Ale biorąc pod uwagę to, że dwóch pozostałych kątów tej figury geometrycznej ostre, można stwierdzić, że są one nie przekracza 90 stopni. Zatem twierdzenie o sumie kątów trójkąta działa przy obliczaniu sumy kątów w тупоугольном trójkącie. Okazuje się, śmiało możemy stwierdzić, opierając się na wyżej wymienione twierdzenia, że suma kątów тупоугольного trójkąta jest równa 180 stopni. Znowu ta funkcja nie wymaga ponownego dowodzie.