इस प्रकार के matrices. एक कदम मैट्रिक्स. लाने के लिए मैट्रिक्स कदम और त्रिकोणीय फार्म

मैट्रिक्स एक विशेष वस्तु गणित में है. में चित्रित के रूप में एक आयताकार या वर्गाकार मेज है, जो की रचना की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या. गणित में कर रहे हैं की एक विशाल विविधता के matrices है कि आकार में भिन्न होते हैं या सामग्री. की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या निर्दिष्ट कर रहे हैं के रूप में आदेश. इन वस्तुओं में इस्तेमाल कर रहे हैं गणित करने के लिए व्यवस्थित अपने रिकॉर्ड रेखीय समीकरण के सिस्टम और आसान खोज का परिणाम है । का उपयोग समीकरणों मैट्रिक्स द्वारा हल कर रहे हैं की विधि कार्ल गॉस, गेब्रियल Cramer, नाबालिगों और बीजीय परिवर्धन, के रूप में अच्छी तरह के रूप में कई अन्य तरीकों से. बुनियादी कौशल काम करने में matrices के साथ लाने के लिए है मानक के लिए देखें. लेकिन पहले चलो देखते हैं क्या प्रकार के अलग मैट्रिक्स गणित.

अशक्त प्रकार

सभी घटकों के इस मैट्रिक्स शून्य हैं । इस बीच, की संख्या इसकी पंक्तियों और स्तंभों पूरी तरह से अलग हैं.

वर्ग प्रकार

संख्या के स्तंभों और पंक्तियों की इस मैट्रिक्स एक ही है । दूसरे शब्दों में, यह एक तालिका के रूप में "वर्ग". संख्या के अपने कॉलम (या पंक्तियाँ) कहा जाता है आदेश. विशेष मामलों पर विचार के अस्तित्व के मैट्रिक्स दूसरा आदेश (मैट्रिक्स 2x2), चौथे क्रम (4x4), दस (10x10), सत्रहवीं (17x17), और इतने पर ।

वेक्टर-Stober

यह एक सरल प्रकार की मैट्रिक्स युक्त केवल एक कॉलम के होते हैं, जो तीन सांख्यिक मान है । यह प्रतिनिधित्व करता है की संख्या के नि: शुल्क सदस्य (नंबर है कि कर रहे हैं स्वतंत्र चर के साथ) रेखीय समीकरण के सिस्टम.

वेक्टर लाइन

पिछले एक के समान है । के होते हैं तीन संख्यात्मक तत्वों, बारी में व्यवस्था की एक एकल पंक्ति है.

विकर्ण

संख्यात्मक मूल्यों में एक विकर्ण मैट्रिक्स लेने के केवल घटकों के मुख्य विकर्ण (हरे रंग में प्रकाश डाला). मुख्य विकर्ण के साथ शुरू होता तत्व के शीर्ष-दाएँ कोने में है और समाप्त होता है के तीसरे स्तंभ में तीसरी पंक्ति में । शेष घटक शून्य के बराबर है । विकर्ण ही प्रकार का प्रतिनिधित्व करता है एक वर्ग मैट्रिक्स के किसी भी क्रम में. के बीच विकर्ण matrices, वहाँ रहे हैं अदिश. उसके घटकों के सभी लेने के एक ही मूल्य है ।

पहचान मैट्रिक्स

एक उप-प्रजाति के विकर्ण मैट्रिक्स के. अपने सभी संख्यात्मक मूल्यों इकाइयों, कर रहे हैं. एक प्रकार का उपयोग कर, मैट्रिक्स की मेज, प्रदर्शन बेस रूपांतरण, या व्युत्क्रम को खोजने के लिए स्रोत है ।

विहित प्रकार

विहित प्रपत्र को मैट्रिक्स की एक मुख्य एक है और समायोजन अक्सर आवश्यक है. की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या में विहित मैट्रिक्स अलग कर रहे हैं, वे जरूरी नहीं करते हैं, वर्ग के प्रकार. यह कुछ इसी तरह की है करने के लिए पहचान मैट्रिक्स है, लेकिन उसके मामले में नहीं सभी घटकों के मुख्य विकर्ण सेट कर रहे हैं एक करने के लिए बराबर है । Pavlovianly इकाइयों हो सकता है, दो या चार (पर निर्भर करता है, लंबाई और चौड़ाई के मैट्रिक्स). या इकाइयों उपलब्ध नहीं हो सकता है सब पर (जब यह शून्य है). शेष घटकों के विहित प्रकार के रूप में तत्वों की विकर्ण और एक शून्य है ।

त्रिकोणीय

एक के सबसे महत्वपूर्ण प्रकार के मैट्रिक्स में इस्तेमाल के लिए खोज, अपने निर्धारकों और के प्रदर्शन में सरल आपरेशनों. त्रिकोणीय प्रकार से ली गई है, विकर्ण, तो मैट्रिक्स में भी वर्ग. त्रिकोणीय फार्म के मैट्रिक्स में विभाजित है vernetroyerinpy और negativly.

में vernerable मैट्रिक्स (अंजीर. 1) केवल वस्तुओं है कि कर रहे हैं, ऊपर मुख्य विकर्ण कर रहे हैं शून्य करने के लिए सेट है । घटकों के विकर्ण मैट्रिक्स की व्यवस्था की है, यह नीचे होते हैं, संख्यात्मक मूल्यों.

में Nizhneserginsky (अंजीर. 2), इसके विपरीत पर, तत्वों निचले भाग में स्थित मैट्रिक्स के शून्य के बराबर है.

कदम मैट्रिक्स

खोजने के लिए आवश्यक रैंक, एक मैट्रिक्स के और प्राथमिक संचालन पर उन्हें (के साथ-साथ त्रिकोणीय प्रकार). कदम मैट्रिक्स है तो नाम होता है, क्योंकि यह विशेषता "कदम" के शून्य के रूप में दिखाया (चित्रा). में कदम रखा प्रकार के रूपों की एक विकर्ण शून्य (जरूरी नहीं कि महत्वपूर्ण है), और सभी तत्वों में नीचे के विकर्ण है मूल्य शून्य है. अनिवार्य शर्त निम्नलिखित है: यदि कदम मैट्रिक्स वहाँ एक रिक्त स्ट्रिंग, अन्य तार के नीचे, यह भी नहीं होते हैं संख्यात्मक मूल्यों.

इस प्रकार, हम सबसे महत्वपूर्ण माना जाता के प्रकार, matrices की जरूरत है काम करने के लिए उन लोगों के साथ है । अब चलो सौदे के साथ परिवर्तित करने का कार्य एक मैट्रिक्स में वांछितफार्म.

कमी करने के लिए त्रिकोणीय फार्म

करने के लिए कैसे को बदलने के लिए मैट्रिक्स एक त्रिकोणीय फार्म? सबसे अक्सर आवश्यक कार्यों को बदलने के लिए एक मैट्रिक्स के लिए त्रिकोणीय फार्म को खोजने के लिए, अपने निर्धारकों, अन्यथा बुलाया निर्धारक है । इस प्रक्रिया का प्रदर्शन, यह महत्वपूर्ण है करने के लिए "सहेजें" मुख्य विकर्ण मैट्रिक्स के कारण के निर्धारक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के बराबर है कि उत्पाद के घटकों के अपने मुख्य विकर्ण. मुझे तुम्हें याद दिलाना भी वैकल्पिक तरीकों को खोजने का निर्धारक है । के निर्धारक एक वर्ग की सहायता के साथ विशेष सूत्र है । उदाहरण के लिए, आप उपयोग कर सकते हैं विधि के त्रिकोण है. के लिए अन्य matrices की विधि का उपयोग अपघटन द्वारा पंक्ति, स्तंभ, या तत्वों. यह भी संभव है को लागू करने के लिए विधि के नाबालिगों और बीजीय परिवर्धन के मैट्रिक्स.

विस्तार से विश्लेषण की प्रक्रिया में लाने के लिए एक मैट्रिक्स के लिए त्रिकोणीय फार्म के उदाहरण पर कुछ काम है.

कार्य 1

की जरूरत है खोजने के लिए निर्धारक के मैट्रिक्स प्रस्तुत किया है, की विधि का उपयोग करने के लिए इसे लाने के लिए एक त्रिकोणीय फार्म.

हमें दिया है मैट्रिक्स, एक वर्ग मैट्रिक्स के तीसरे क्रम. नतीजतन, यह परिणत करने के लिए एक त्रिकोणीय आकार में, हम की जरूरत है बारी करने के लिए शून्य करने के लिए दो घटकों के पहले कॉलम और एक दूसरे घटक है ।

करने के लिए इसे लाने के लिए त्रिकोणीय रूप में, हम शुरू से परिवर्तन के निचले बाएँ कोने के साथ मैट्रिक्स की संख्या 6 है । इसे चालू करने के लिए शून्य करने के लिए, हम गुणा पहली पंक्ति से तीन और घटा से यह अंतिम पंक्ति है.

महत्वपूर्ण! शीर्ष पंक्ति नहीं बदला है और एक ही रहता है के रूप में मूल मैट्रिक्स. लिखने के लिए एक स्ट्रिंग है कि चार बार का एक बड़ा स्रोत आवश्यक नहीं है । लेकिन स्ट्रिंग मूल्यों, घटकों, जिनमें से आप की जरूरत है भुगतान करने के लिए शून्य में, लगातार बदल रहा है ।

हमें आगे निम्न मान - तत्व की दूसरी पंक्ति के पहले स्तंभ, 8 की संख्या में है । गुणा पहली पंक्ति में चार और घटाना यह दूसरी पंक्ति से है । प्राप्त होगा, एक शून्य है ।

छोड़ने के केवल अंतिम मूल्य का तत्व है तीसरी पंक्ति के दूसरे स्तंभ है । इस संख्या (-1). में बारी करने के लिए शून्य, पहली घटाना दूसरी पंक्ति है.

प्रदर्शन परीक्षण:

DetA = 2 x (-1) x 11 = -22.

तो, इस सवाल का जवाब करने के लिए नौकरी: -22.

व्यायाम 2

की जरूरत है खोजने के लिए निर्धारक के मैट्रिक्स के द्वारा करने के लिए इसे लाने के लिए एक त्रिकोणीय फार्म.

मैट्रिक्स के अंतर्गत आता है स्क्वायर प्रकार और मैट्रिक्स के चौथे क्रम है । तो, आप की जरूरत है भुगतान करने के लिए शून्य में तीन घटकों का पहला स्तंभ, दो घटकों के दूसरे स्तंभ के तीसरे घटक है ।

शुरू करते हैं, इसे लाने के तत्व के साथ निचले बाएँ कोने में संख्या के साथ 4. हम की जरूरत है रिवर्स करने के लिए इस संख्या को शून्य करने के लिए. सबसे सुविधाजनक करने के लिए यह गुणा करके शीर्ष चार स्ट्रिंग, और फिर घटाना से यह चौथा है । लिखने के परिणाम के पहले चरण रूपांतरण है ।

तो, इस घटक के चौथी लाइन में परिवर्तित करने के लिए शून्य है । स्थानांतरित करने के लिए पहला आइटम में तीसरी लाइन के लिए, संख्या 3. एक ही आपरेशन प्रदर्शन. से गुणा तीन पहली पंक्ति घटाना, से तीसरी पंक्ति और रिकॉर्ड परिणाम है ।

अगले हम 2 नंबर दूसरी पंक्ति में. आपरेशन दोहराएँ: गुणा शीर्ष पंक्ति में दो और घटाना यह दूसरे से.

हम में सक्षम थे करने के लिए भुगतान शून्य करने के लिए सभी घटकों को पहले स्तंभ के इस वर्ग मैट्रिक्स के अपवाद के साथ, संख्या 1 के तत्वों के मुख्य विकर्ण की आवश्यकता नहीं है कि रूपांतरण । यह अब बनाए रखने के लिए महत्वपूर्ण शून्य है, तो हम परिवर्तित करने के लिए पंक्तियाँ कॉलम नहीं है । जाना करने के लिए दूसरा स्तंभ प्रस्तुत करता है मैट्रिक्स.

फिर से, शुरू करने के साथ निचले हिस्से के साथ - तत्व के दूसरे कॉलम की अंतिम पंक्ति है । इस संख्या (-7). हालांकि, इस मामले में यह अधिक सुविधाजनक है के साथ शुरू करने के लिए एक नंबर (-1) - तत्व के दूसरे कॉलम की तीसरी पंक्ति है । बारी करने के लिए यह करने के लिए शून्य से घटाना तीसरी पंक्ति के लिए दूसरा । तो गुणा दूसरी पंक्ति द्वारा सात और घटाना से यह चौथा है । हम एक शून्य के बजाय एक तत्व पर स्थित चौथी पंक्ति के दूसरे स्तंभ है । हम अब बारी है तीसरे स्तंभ में है.

इस स्तंभ में, हम की जरूरत है भुगतान करने के लिए शून्य करने के लिए केवल एक ही नंबर - 4. यह करना आसान है: बस को जोड़ने के लिए, अंतिम पंक्ति के तीसरे और हम देखते हैं हम की जरूरत है, शून्य है ।

के बाद सभी परिवर्तनों को हम लाया है प्रस्तावित मैट्रिक्स के लिए एक त्रिकोणीय फार्म. अब खोजने के लिए, अपने निर्धारकों, यह केवल आवश्यक है प्रदर्शन करने के लिए एक गुणा के परिणामस्वरूप तत्वों का मुख्य विकर्ण. प्राप्त: DetA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. इसलिए, समाधान की संख्या 160 है.

तो अब सवाल यह की कमी के एक मैट्रिक्स के लिए त्रिकोणीय रूप से आप कृपया है.

मन में लाने के लिए कदम

प्राथमिक संचालन पर matrices कदम रखा उपस्थिति कम है "लोकप्रिय" की तुलना में त्रिकोणीय. यह सबसे अधिक इस्तेमाल किया है खोजने के लिए रैंक के एक मैट्रिक्स (यानी इसकी की संख्या nonzero पंक्तियाँ), या परिभाषित करने के लिए रैखिक निर्भर है और स्वतंत्र पंक्तियों. हालांकि, इस कदम के रूप में मैट्रिक्स और अधिक बहुमुखी है के रूप में यह है के लिए न केवल उपयुक्त वर्ग के प्रकार, लेकिन सभी दूसरों के लिए.

करने के लिए मैट्रिक्स लाने के लिए गति, मन, आप पहली बार खोजने की जरूरत है, अपने निर्धारकों. इस फिट के लिए उपर्युक्त विधियों. लक्ष्य खोजने के निर्धारकों के रूप में निम्नानुसार है: बाहर का पता लगाएं कि क्या आप कर सकते हैं इसे बदलने में एक कदम मैट्रिक्स. अगर निर्धारक की तुलना में अधिक है या शून्य से कम है, तो आप कर सकते हैं सुरक्षित रूप से आगे बढ़ना काम करने के लिए. यदि यह शून्य है, कास्ट करने के लिए मैट्रिक्स की गति के लिए मन से काम नहीं करेगा. इस मामले में, आप जांच की जरूरत है अगर वहाँ रहे हैं किसी भी गलतियों में रिकॉर्ड या में परिवर्तन मैट्रिक्स. अगर इस तरह की अशुद्धियों को कोई नौकरी नहींयह असंभव है हल करने के लिए ।

पर विचार करने के लिए कैसे को बदलने के लिए मैट्रिक्स की गति मन के उदाहरण कई नौकरियों.

कार्य 1. के पद खोजने के लिए इस मैट्रिक्स.

इससे पहले कि हम एक वर्ग मैट्रिक्स के तीसरे क्रम (3x3). हम जानते हैं कि ग्रेड को खोजने के लिए आप लाने चाहिए यह करने के लिए एक गति मन की । तो पहले हम की जरूरत है खोजने के लिए निर्धारक के मैट्रिक्स. हम उपयोग की विधि त्रिकोण: DetA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 एक्स 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

निर्धारकों = 12. यह शून्य से अधिक है, तो मैट्रिक्स नेतृत्व कर सकते हैं के लिए गति मन की । शुरू अपने परिवर्तन.

के साथ शुरू करने के लिए तत्व के बाएं कॉलम, तीसरी पंक्ति की संख्या 2 है । गुणा शीर्ष पंक्ति में दो और घटाना यह तीसरे से एक है । इस आपरेशन के लिए धन्यवाद के रूप में आवश्यक तत्व और 4 नंबर तत्व के दूसरे कॉलम की तीसरी पंक्ति में बदल गया है करने के लिए शून्य से ।

अगले आकर्षित करने के लिए शून्य तत्व की दूसरी पंक्ति के पहले कॉलम संख्या 3 है. ऐसा करने के लिए, गुणा शीर्ष पंक्ति से तीन और घटा यह दूसरे से.

हम देख सकते हैं कि कलाकारों का गठन किया गया था एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स. हमारे मामले में, जारी रखने के लिए रूपांतरण के साथ असंभव है, के रूप में अन्य घटकों में सक्षम नहीं होगा के लिए भुगतान करने के लिए शून्य से ।

तो, हम निष्कर्ष है कि पंक्तियों की संख्या के होते हैं कि संख्यात्मक मूल्यों में मैट्रिक्स (या पद) 3 है. जवाब करने के लिए नौकरी: 3 है.

कार्य 2. की संख्या निर्धारित करने के रैखिक स्वतंत्र पंक्तियों के इस मैट्रिक्स.

हम की जरूरत है खोजने के लिए तार नहीं कर रहे हैं कि किसी भी परिवर्तनों को आकर्षित करने के लिए शून्य करने के लिए. वास्तव में, हम की जरूरत है खोजने के लिए की संख्या nonzero पंक्तियों या रैंक का प्रतिनिधित्व मैट्रिक्स. ऐसा करने के लिए, अपनी सरलीकरण.

हम देखते हैं कि एक मैट्रिक्स से संबंधित नहीं है स्क्वायर प्रकार है । यह आयाम है 3x4. चलो शुरू कलाकारों के साथ आइटम के निचले बाएँ कोने में संख्या - (-1).

हम जोड़ने के rst पंक्ति में तीसरे करने के लिए. अगले, घटाना दूसरे नंबर आकर्षित करने के लिए 5 शून्य करने के लिए.

आगे रूपांतरण के लिए असंभव है । इसलिए, हम निष्कर्ष है कि की संख्या रैखिक स्वतंत्र पंक्तियों में यह है, और जवाब के लिए कार्य 3.

अब कमी एक मैट्रिक्स की गति के लिए दृष्टि है, एक असंभव काम है.

उदाहरण के लिए नौकरियों के हम पर चर्चा की कमी के एक मैट्रिक्स के लिए त्रिकोणीय फार्म, और एक कदम रखा उपस्थिति है । बनाने के लिए वांछित मूल्यों शून्य मैट्रिक्स मेज, कुछ मामलों में, आप की आवश्यकता हो सकती करने के लिए कल्पना दिखाने के लिए और सही ढंग से परिवर्तित इन स्तंभों या पंक्तियों. में आपको सफलता की कामना और गणित के साथ काम करने में मैट्रिक्स!