Tipos de matrices. Las delimitaciones de vista de la matriz. La conversión de la matriz ступенчатому y треугольному cuenta

La Matriz es un objeto en matemáticas. Se presenta en forma rectangular o cuadrada de la tabla, puesta de un determinado número de filas y de columnas. En matemáticas hay una gran variedad de especies de matrices diferentes, en función de las dimensiones o contenidos. El número de filas y columnas se denominan órdenes. Estos objetos se emplean en matemáticas para la orden de escritura de los sistemas de ecuaciones lineales y facilitar la búsqueda de los resultados. De la ecuación con el uso de la matriz se resuelven mediante el método de karl gauss, gabriel kramer, миноров y algebraicas de los complementos, así como de muchas otras maneras. Base de la habilidad cuando se trabaja con matrices es traer a la vista estándar. Sin embargo, para empezar, vamos a ver, ¿qué tipos de matrices distinguen de las matemáticas.

Cero el tipo de

Todos los componentes de este tipo de matriz - ceros a la izquierda. Entre tanto, el número de filas y columnas absolutamente diferente.

Cuadrado tipo de

El Número de filas y de columnas de este tipo de matriz es la misma. En otras palabras, se trata de una tabla de la forma "cuadrado". El número de columnas (o filas) se denominan de la orden. Privados de los casos se considera la existencia de la matriz de segundo orden (matriz de 2x2), cuarto orden (4x4), décimo (10x10), xvii (17x17) y así sucesivamente.

Vector-стобец

Este Es uno de los tipos de matrices que contiene sólo una columna, que incluye los tres valores numéricos. Se presenta una serie de miembros libres (números, independientes de las variables en los sistemas de ecuaciones lineales.

Vector-fila

Apariencia similar a la anterior. Consta de tres numéricos de los elementos, a su vez, organizados en una sola línea.

Diagonal tipo de

Los valores Numéricos en la diagonal de la matriz, solo aceptan a los componentes de la diagonal principal (en verde). El principal diagonal comienza con el elemento que se encuentra en la esquina superior derecha, y termina con el número en la tercera columna de la tercera línea. El resto de los componentes son iguales a cero. Diagonal tipo es un solo cuadrada es una matriz de cualquier orden. Entre matrices diagonal de la especie se puede distinguir escalar. Todos sus componentes toman el mismo valor.

La matriz de identidad

Una Subespecie de la diagonal de la matriz. Todos sus valores numéricos son la unidad. Usando un solo tipo de matriz de puntos de tablas, realiza las transformaciones básicas o encuentran la matriz inversa de la original.

El tipo Canónico

La forma Canónica de la matriz se considera uno de los principales; la conversión a él es a menudo necesario para el trabajo. El número de filas y columnas de la matriz es diferente, ella no necesariamente pertenece al cuadrado de su tipo. Esto es algo similar a una única matriz, sin embargo, en su caso, no todos los componentes de la diagonal principal tienen un valor igual a la unidad. Главнодиагональных unidades pueden ser dos, cuatro (todo depende de la longitud y de la anchura de la matriz). O de la unidad puede no existir en absoluto (entonces se considera cero). El resto de los componentes canónico tipo, como los elementos de la diagonal y singular, son iguales a cero.

Triangular tipo de

Uno de los principales tipos de matriz utilizada para la búsqueda de su factor determinante y durante la ejecución de las operaciones más simples. Triangular tipo proviene de la diagonal, por lo tanto, la matriz también es un cuadrado. Triangular tipo de matriz se dividen en верхнетреугольный y нижнетреугольный.

En верхнетреугольной la matriz (fig. 1) sólo los elementos que están por encima de la diagonal principal, toman el valor de cero. Los componentes de la misma diagonal y la parte de la matriz que se extiende por debajo de ella, contienen valores numéricos.

En нижнетреугольной (fig. 2), por el contrario, los elementos que se encuentran en la parte inferior de la matriz son iguales a cero.

Velocidades matriz

El Tipo es necesario para encontrar el rango de la matriz, así como para sus actividades por encima de ellos (junto con el triangular tipo). Velocidades matriz se llama así porque en ella figuran los "escalones" de ceros (como se muestra en la figura). En ступенчатом tipo se forma la diagonal de ceros (opcional principal), y todos los elementos bajo la diagonal también tienen valores iguales a cero. La condición imprescindible es la siguiente: si en la matriz escalonada está presente ninguna cadena, el resto de cadenas, que están por debajo de ella, no contienen valores numéricos.

Por lo tanto, hemos analizado los principales tipos de matrices necesarias para trabajar con ellos. Ahora vamos a ver con la tarea de transformación de la matriz en la que deseeel formulario.

La Conversión a треугольному cuenta

¿Cómo llevar la matriz a треугольному decir? Más a menudo en las tareas necesita para convertir una matriz triangular de vista, para encontrar sus determinantes, de otro modo llamado determinante. Siguiendo este procedimiento, es muy importante guardar la diagonal principal de la matriz, ya que los factores determinantes de la forma triangular de la matriz es igual a saber, la obra de las componentes de la diagonal principal. Recuerdo también métodos alternativos de encontrar el determinante. Los determinantes de la cuadrada tipo se encuentra con la ayuda de fórmulas especiales. Por ejemplo, se puede utilizar el método del triángulo. Para otras matrices utilizan el método de la descomposición de la fila, columna o a sus elementos. También se puede aplicar el método de миноров y algebraicas de los complementos de la matriz.

Analice en Detalle el proceso de conversión de la matriz треугольному cuenta que en los ejemplos de algunos trabajos.

La Tarea 1

Es Necesario encontrar los determinantes de la proporcionada por la matriz, utilizando el método que se ajuste a la треугольному cuenta.

Esta nos la matriz representa el cuadrado de la matriz de tercer orden. Por lo tanto, para su transformación en una forma triangular necesitamos invertir en cero dos componentes de la primera columna y un componente de la segunda.

Para traerla a треугольному cuenta, vamos a empezar la transformación de la esquina inferior izquierda de la matriz con el número 6. Para convertirlo en cero, se multiplica la primera fila de a tres y restar desde la última fila.

¡Importante! La línea superior no cambia y sigue siendo el mismo que en la matriz. Grabar la cadena, cuatro veces mayor de la de origen, no es necesario. Pero los valores de las filas de los componentes que es necesario prestar a cero, cambian constantemente.

A Continuación vamos a hacer el siguiente valor de un elemento de la segunda fila de la primera columna, el número 8. Se multiplica la primera fila de a cuatro y restar la de la segunda fila. Obtenemos cero.

Queda sólo el último valor de un elemento de la tercera fila de la segunda columna. Este número (-1). Para convertirlo en el cero de la primera línea de restar la segunda.

Vamos a realizar la verificación de:

DetA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Entonces, la respuesta a la tarea: -22.

La Tarea 2

Es Necesario encontrar los determinantes de la matriz por el método que se ajuste a la треугольному cuenta.

Presentada la matriz pertenece al cuadrado de su tipo y es la matriz de cuarto orden. Esto significa que es necesario invertir en cero tres componentes de la primera columna, los dos componentes de la segunda columna y un componente de la tercera.

Empecemos a llevar con el elemento que se encuentra en la esquina inferior izquierda, con la número 4. Necesitamos prestar este número a cero. Es mejor hacer esto, multiplicando por cuatro la fila superior, y luego restar de su cuarto. Anote el total de la primera fase de transformación.

Por lo tanto, el componente de la cuarta línea convertido en un cero. Pasemos al primer elemento de la tercera fila, al número 3. Realizamos la misma operación. Se multiplica por tres la primera fila le restamos la de la tercera fila y anotamos el resultado.

A Continuación vemos el número 2 en la segunda línea. Repetimos la operación: se multiplica la fila superior a dos y le restamos la de la segunda.

Nos consiguieron en cero todos los componentes de la primera columna de este cuadrado de la matriz, excepto el número 1 es el elemento de la diagonal principal, que no requiere de la conversión. Ahora es importante mantener recibidos ceros, por lo tanto, vamos a realizar la transformación de las filas, y no con las columnas. Pasemos a la segunda columna de la matriz presentada.

De Nuevo comenzaremos con la parte inferior con un elemento de la segunda columna de la última fila. Este número (-7). Sin embargo, en este caso, es más conveniente empezar con un número (-1) - elemento de la segunda columna de la tercera línea. Para convertirlo en cero, restar de la tercera línea de la segunda. A continuación, se multiplica la segunda fila siete y restar de su cuarto. Hemos recibido un cero en lugar de un elemento que se encuentra en la cuarta fila de la segunda columna. Ahora pasemos a la tercera columna.

En esta columna necesitamos prestar a cero sólo un número - 4. Hacerlo es muy fácil: simplemente se añade a la última fila de la tercera y vemos que nos cero.

Después de todos los producidos por las transformaciones que nos llevó a la propuesta de la matriz a треугольному cuenta. Ahora, para encontrar sus determinantes, sólo es necesario realizar resultantes de la multiplicación de los elementos de la diagonal principal. Obtenemos: DetA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. por lo tanto, la solución es el número 160.

Por lo tanto, ahora la cuestión de la armonización de la matriz a треугольному cuenta que usted no es difícil.

La Conversión a ступенчатому cuenta

Cuando elementales de las operaciones sobre matrices por etapas es el menos "popular", que triangular. A menudo se utiliza para hallar el rango de la matriz (es decir, el número de filas no nulas) o para determinar linealmente dependientes, independientes y de cadenas. Sin embargo, las delimitaciones de vista de la matriz es más versátil, ya que no sólo es adecuado para el estilo cuadrado, sino para todos los demás.

Para llevar la matriz a ступенчатому cuenta, primero debe encontrar sus determinantes. Este traje de dichos métodos. El objetivo de encontrar el factor determinante es la siguiente: saber si puede convertir en las delimitaciones de vista de la matriz. Si los determinantes de la mayor o menor que cero, entonces puede comenzar la tarea. Si él es igual a cero, realizar la conversión de la matriz ступенчатому cuenta no va a funcionar. En tal caso, debe comprobar si hay errores en la escritura o en la transformación de la matriz. Si este tipo de irregularidades no, el trabajo deno puede solucionarse.

Considere la forma de llevar la matriz a ступенчатому cuenta que en los ejemplos de algunos trabajos.

Trabajo 1. Encontrar el rango de esta matriz de la tabla.

Antes de nosotros cuadrada de la matriz de tercer orden (3x3). Sabemos que para hallar el rango debe de llevar a la ступенчатому cuenta. Por lo tanto, primero debemos encontrar los determinantes de la matriz. Usaremos el método del triángulo: DetA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Los Determinantes de la = 12. Es mayor que cero, entonces la matriz se puede llevar a ступенчатому cuenta. Se procede a su transformación.

Empezamos con el elemento de la columna de la izquierda de la tercera fila - número 2. Multiplica la fila superior a dos y le restamos la de la tercera. Gracias a esta operación como el nos elemento y el número 4 es un elemento de la segunda columna de la tercera fila - se volvieron a cero.

Luego, prestamos en cero el elemento de la segunda fila de la primera columna es el número 3. Para ello, se multiplica la fila superior a tres y se resta la de la segunda.

Vemos que como resultado de la conversión se ha formado el triangular de la matriz. En nuestro caso, continuar con la transformación no se puede, así como el resto de los componentes no se puede convertir en cero.

Entonces, llegamos a la conclusión de que el número de filas que contienen valores numéricos, en esta matriz (o grado) - 3. La respuesta a la tarea: 3.

Trabajo 2. Determinar el número linealmente independientes de las filas de esta matriz.

Debemos encontrar esas cadenas que no se puede cualesquiera transformaciones de empate en cero. En realidad tenemos que encontrar el número de filas no nulas, o el grado de la proporcionada por la matriz. Para ello, vamos a realizar la simplificación.

Vemos que la matriz no pertenezca al cuadrado de su tipo. Ella tiene el tamaño 3x4. Comenzaremos la conversión también con el elemento de la esquina inferior izquierda del número (-1).

Se Añade la primera línea a tercera. Siguiente resta de ella la segunda, para prestar el número 5 en cero.

Más de su conversión no es posible. Entonces, llegamos a la conclusión de que el número linealmente independientes de filas en ella, y la respuesta a la tarea - 3.

Ahora la conversión de la matriz ступенчатому cuenta que no es imposible la tarea.

En los ejemplos de datos de los trabajos hemos aprendido la conversión de la matriz треугольному cuenta y ступенчатому cuenta. Para invertir en cero los valores de la matriz de tablas, en algunos casos es necesario mostrar la imaginación y convertir correctamente sus filas o columnas. Éxito que en matemáticas y en el trabajo con matrices!