Tipos de matrizes. Estágios de vista da matriz. O elenco da matriz a ступенчатому e треугольному mente

Matriz - é um objeto especial em matemática. É retratado em forma quadrada ou retangular tabela, dobrada a partir de um determinado número de linhas e colunas. Em matemática há uma grande variedade de tipos de matrizes, que variam de tamanho ou conteúdo. Número de linhas e de colunas são chamados de ordens. Esses objetos são usados em matemática para organizar registros de sistemas de equações lineares e de fácil procura dos seus resultados. A equação utilizando a matriz de são resolvidos através do método de Karl Gauss, Gabriel Cramer, миноров e algébricas, add-ons e muitas outras formas. Subjacente a capacidade de se trabalhar com matrizes é trazer à visão normal. No entanto, para começar, vamos entender melhor quais são os tipos de matrizes destacam matemática.

Zero-tipo

Todos os componentes deste tipo de uma matriz de zeros. Entretanto, o número de linhas e colunas absolutamente diferente.

Type

O Número de linhas e colunas deste tipo de matriz é a mesma. Em outras palavras, ela representa uma tabela de formas de "quadrado". O número de colunas (ou linhas) são chamados de ordem. Casos especiais é considerada a existência de uma matriz de segunda ordem (matriz 2x2), de quarta ordem (4x4), décimo (10x10), xvii (17x17) e assim por diante.

Vector-стобец

Este É um dos mais simples tipos de matrizes, contém apenas uma coluna, que inclui três valores numéricos. Ela representa uma série de membros livres (números, independente de variáveis), em sistemas de equações lineares.

Vetor linha

De forma semelhante ao anterior. É composto por três elementos numéricos, por sua vez, organizados em uma linha.

Diagonal tipo

Os valores Numéricos na forma de matriz diagonal aceitam somente os componentes da diagonal principal (destacada em verde). A principal diagonal começa com um elemento que está no canto superior direito, e termina com um número na terceira coluna da terceira linha. Os outros componentes são iguais a zero. Diagonal tipo é apenas uma matriz quadrada de qualquer ordem. Entre matriz diagonal semelhante pode-se destacar скалярную. Todos os seus componentes tomam o mesmo valor.

Unidade de matriz

O Subtipo matriz diagonal. Todos os seus valores numéricos são unidades. Usando um único tipo de matriz, tabelas, realizar a sua base de conversão ou de encontrar a matriz inversa de origem.

Canônico, um tipo

A forma Canônica de uma matriz é considerado um dos principais; trazendo para ele, muitas vezes precisa para trabalhar. O número de linhas e colunas na matriz canônica é diferente, ela é opcional pertence ao quadrado tipo. É um pouco semelhante único matriz, no entanto, no caso dela, nem todos os componentes da diagonal principal tomam um valor igual a unidade. Главнодиагональных unidades pode ser de duas, quatro (tudo depende do comprimento e da largura da matriz). Ou a unidade pode não ter nada (então ela é considerada como zero). Outros componentes canônico tipo, como elementos da diagonal e único, são iguais a zero.

Triangular tipo

Um dos tipos mais importantes de uma matriz usada na busca de seus determinante e quando a mais simples das operações. Triangular tipo ocorre da diagonal, portanto, a matriz também é um quadrado. Triangular vista de uma matriz dividida em верхнетреугольный e нижнетреугольный.

Em верхнетреугольной matriz (fig. 1) apenas os itens que estão acima da diagonal principal, tomam um valor igual a zero. Componentes de uma mesma diagonal e parte da matriz, localizada sob ela, contêm valores numéricos.

Em нижнетреугольной (fig. 2) por outro lado, os itens que estão na parte inferior da matriz são iguais a zero.

Mudança de matriz

Vista é necessário para encontrar a categoria de matriz, e também para elementares de ação sobre eles (juntamente com a forma triangular do tipo). Mudança de matriz assim chamado, porque ele contém característicos de "degraus" de zeros (como mostrado na figura). O tipo de dado degrau formado diagonal de zeros (opcional home), e todos os itens sob esta diagonal também têm valores iguais a zero. Pré-requisito é a seguinte: se em uma matriz de presente nenhuma linha, as linhas restantes, estão abaixo dela, que também não contêm valores numéricos.

Portanto, nós abordamos mais importantes tipos de matrizes necessárias para trabalhar com eles. Agora vamos lidar com a tarefa de matriz de transformação pretendidao formulário.

Trazendo a треугольному mente

Como levar uma matriz a треугольному mente? Mais frequentemente do que nas tarefas você precisa para converter uma matriz triangular vista, para encontrar seus determinantes, diferente chamado de determinante. Realizando este procedimento, é extremamente importante "salvar" a diagonal principal da matriz, porque determinantes matriz triangular é igual a obra de componentes de sua diagonal principal. Lembro-me também de métodos alternativos de encontrar o determinante. Determinantes do estilo quadrado fica com a facilidade de fórmulas. Por exemplo, você pode usar o método do triângulo. Para outras matrizes usam o método de decomposição de uma linha, coluna ou em seus itens. Você também pode aplicar o método миноров e algébricas de add-ons da matriz.

Falaremos mais sobre o processo de trazer a matriz a треугольному mente exemplos de alguns trabalhos.

Tarefa 1

Você Deve encontrar determinantes representada por uma matriz, usando o método de trazê-lo a треугольному mente.

Esse-nos a matriz é uma matriz quadrada de terceira ordem. Portanto, para sua transformação em uma forma triangular, precisamos prestar zero dois componentes da primeira coluna e um componente de segundo.

Para trazê-la Para треугольному mente, vamos começar a transformação com o canto inferior esquerdo da matriz com o número 6. Para convertê-lo em zero, multiplicamos a primeira linha por três e subtrair-la a partir da última linha.

é Importante! A linha superior não muda, mas permanece o mesmo e a matriz original. Gravar a linha, quatro vezes maior do original, não precisa. Mas valores de linha, componentes que você precisa prestar zero, mudam constantemente.

Em seguida, vamos fazer o seguinte valor para um elemento da segunda linha da primeira coluna, o número 8. Multiplicamos a primeira linha de quatro e subtrair-la a partir de segunda linha. Recebemos a zero.

Resta apenas o último valor, o elemento da terceira linha e a segunda coluna. Este é o número (-1). Para convertê-lo em zero, a partir da primeira linha subtraímos o segundo.

Realizar a verificação de:

DetA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Significa, a resposta ao comando: -22.

A Tarefa 2

Você Precisa encontrar determinantes de uma matriz pelo método de trazê-lo a треугольному mente.

Apresentada a matriz pertence a quadrado tipo e é a matriz de quarta ordem. Significa a necessidade de prestar zero três componentes da primeira coluna, dois componentes da segunda coluna e um componente de terceiro.

Vamos Começar trazendo-lo com o elemento que está no canto inferior a esquerda, - com o número 4. Precisamos prestar esse número zero. É melhor fazer isso, multiplicando-se em quatro top de linha e, em seguida, subtrair do quarto. Reescrevemos o total da primeira fase de transformação.

Então, o componente quarta linha é dirigida a zero. Passemos ao primeiro elemento da terceira linha, o número 3. Executamos uma operação semelhante. Multiplicar por três a primeira linha, você subtrai-la da terceira linha e escreve o resultado.

Em seguida, vemos o número 2 na segunda linha. Repetimos a operação: multiplicar a linha superior a dois e subtrair-la a partir de segunda.

Conseguimos chamar a zero todos os componentes da primeira coluna desta matriz quadrada, exceto para o número 1 do elemento da diagonal principal, que não necessita de conversão. Agora é importante preservar os zeros à esquerda, por isso, vamos realizar a conversão de strings, e não de colunas. Vamos passar para a segunda coluna representada por uma matriz.

De novo, vamos começar com a parte inferior com um elemento da segunda coluna da última linha. Este é o número de (-7). No entanto, nesse caso pode ser mais fácil começar com um número (-1) - elemento da segunda coluna da terceira linha. Para convertê-lo em zero, deduzir, a partir da terceira linha da segunda. Em seguida, multiplicamos a segunda linha em sete e subtrair-la do quarto. Recebemos a zero em vez de um item localizado na quarta linha, segunda coluna. Agora, vamos à terceira coluna.

Nesta coluna temos de prestar, ao invés de apenas um número - 4. Fazer isso é fácil: basta acrescentou a última linha da terceira e vemos que nos são necessárias zero.

Depois de todas as transformações produzidas nós levou uma proposta de matriz para треугольному mente. Agora, para encontrá-la determinantes, só precisa de produzir a multiplicação получившихся elementos da diagonal principal. Temos: DetA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Portanto, a solução é o número 160.

Então, agora, a questão é trazer a matriz a треугольному dizer você não complique.

Trazendo a ступенчатому mente

Quando as operações elementares sobre matrizes estágios de vista é o de menos "popular", que é triangular. É mais comumente usado para encontrar a categoria de matriz (т. е. o número de seu ненулевых linhas) ou para identificar o linearmente dependentes e independentes de linhas. No entanto, o passo-a-passo vista da matriz é mais versátil, pois não só é adequado para o estilo quadrado, mas para todos os outros.

Para levar uma matriz a ступенчатому mente, primeiro você precisa encontrar seus determinantes. Para isso, ideais estes métodos. O objetivo de encontrar o determinante de a é: descobrir, pode-se convertê-la em estágios de vista da matriz. Se determinantes de maior ou menor que zero, então você pode seguramente começar o trabalho. Se ele for igual a zero, executar a conversão de uma matriz a ступенчатому mente não vai funcionar. Nesse caso, você precisa verificar se há erros no registro ou nas transformações da matriz. Se tais imprecisões não, o trabalhopara resolver o impossível.

Considere como levar uma matriz a ступенчатому mente, por meio de exemplos de diversas tarefas.

Tarefa 1. Encontrar a categoria deste matriz da tabela.

Antes de nós matriz quadrada de terceira ordem (3x3). Sabemos que para encontrar a categoria tem de levá-la para a ступенчатому mente. Então primeiro precisamos encontrar determinantes de uma matriz. Usaremos o método do triângulo: DetA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinantes = 12. Ele é maior do que zero, significa que a matriz pode causar ступенчатому mente. Começar a sua transformação.

Vamos Começar com o elemento da coluna esquerda, a terceira linha - o número 2. Multiplicar a linha superior a dois e subtrair-la a partir do terceiro. Graças a esta operação como o nós do elemento, de modo que o número 4, o elemento da segunda coluna da terceira linha - voltaram-se a zero.

Em seguida, preste zero o elemento da segunda linha da primeira coluna - número 3. Para isso, multiplicar a primeira linha de três e subtrair-la a partir de segunda.

Nós vemos que, em resultado de trazer formado triangular matrix. No nosso caso, continuar com a conversão não é possível, assim como outros componentes, não poderá prestar a zero.

Significa, podemos concluir que o número de linhas que contêm valores numéricos, neste matriz (ou uma classe) - 3. A resposta ao trabalho: 3.

A Tarefa 2. Determinar o número de linhas linearmente independentes deste matriz.

Precisamos encontrar essas linhas, que não podem ser quaisquer transformações prestar a zero. Na verdade, precisamos encontrar o número de ненулевых de linhas, ou categoria representada por uma matriz. Para isso, realizaremos a sua simplificação.

Nós vemos a matriz, não pertence a quadrado tipo. Ela tem o tamanho 3x4. Vamos começar trazendo também com o elemento canto inferior esquerdo - o número (-1).

Acrescentou primeira linha para a terceira. Avançar subtrair dela um segundo para chamar o número de 5 a zero.

Outras a sua transformação não é possível. Significa, podemos concluir que o número de linhas linearmente independentes e a resposta ao comando - 3.

Agora, o elenco da matriz a ступенчатому dizer, não é para você inaplicável a tarefa.

Nos exemplos de dados de trabalhos nós resolvemos trazer uma matriz ao треугольному mente e ступенчатому mente. Para chamar a zero os valores matriciais de tabelas e, em alguns casos, é necessário mostrar imaginação e converter corretamente suas colunas ou linhas. Desejo-lhe sucesso na matemática e no trabalho com matrizes!