गाऊसी उन्मूलन: उदाहरण का समाधान और विशेष मामलों

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2019-01-04 02:20:16

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गाऊसी उन्मूलन, भी कहा जाता है, कदम-दर-कदम बहिष्कार के अज्ञात चर, के बाद नामित महान जर्मन वैज्ञानिक K. F. गॉस, जो अपने जीवनकाल के दौरान प्राप्त की अनौपचारिक शीर्षक के राजा "गणित" है । हालांकि, इस विधि में जाना जाता था लंबे समय से पहले जन्म के यूरोपीय सभ्यता, यहां तक कि मैं शताब्दी ईसा पूर्व में, प्राचीन चीनी विद्वानों का इस्तेमाल किया उनके लेखन में यह है । <आइएमजी alt="गॉस" ऊंचाई="349" src="/images/2018-Mar/20/8c4c5f750dca036fea5cc302fb1a30d8/1.jpg" चौड़ाई="299" />

गाऊसी उन्मूलन है एक शास्त्रीय विधि को सुलझाने के लिए प्रणालियों के रैखिक बीजीय समीकरणों (SLAE). यह आदर्श है के लिए एक त्वरित समाधान के लिए प्रतिबंधित आकार के matrices.

इस विधि के होते हैं दो कदम: आगे और रिवर्स. एक सीधा पाठ्यक्रम कहा जाता है के अनुरूप संरेखण रेखीय समीकरण में त्रिकोणीय फार्म, कि, zeroing के मूल्यों के तहत मुख्य विकर्ण. रिवर्स का तात्पर्य एक सुसंगत ढूँढना मूल्यों के चर व्यक्त, प्रत्येक चर का उपयोग कर रहे हैं.

करने के लिए लागू करने के लिए सीखने की विधि गॉस आसान पर्याप्त ज्ञान के प्राथमिक नियमों का गुणन, इसके अलावा और घटाव की संख्या है.

क्रम में प्रदर्शित करने के लिए एल्गोरिथ्म के समाधान के लिए रैखिक प्रणालियों के द्वारा, इस विधि हमें एक उदाहरण है ।

तो हल करने के लिए, का उपयोग गाऊसी उन्मूलन:

X+2y+4z=3
2x+6y+11z=6
4 x-2y-2z=-6

हम की जरूरत है, दूसरे और तीसरे लाइनों से छुटकारा पाने के लिए चर एक्स ऐसा करने के लिए, हम जोड़ने के लिए उन्हें पहले से गुणा -2 और -4 क्रमशः. प्राप्त होगा:

X+2y+4z=3
2y+3z=0
-10y-18z=-18

अब 2 लाइन 5 से गुणा करें और इसे जोड़ने के लिए 3:

X+2y+4z=3
2y+3z=0
-3z=-18

गॉस विधि के विकल्प के साथ मुख्य तत्वहम लाया हमारे सिस्टम के लिए एक त्रिकोणीय फार्म. अब शुरू करने के लिए रिवर्स. शुरू के साथ पिछले लाइनों:
-3z =-18
z=6 है ।

दूसरी पंक्ति:
2y+3z=0
2y+18=0
2y=-18
y=-9/< / p>

पहली पंक्ति:
X+2y+4z=3
एक्स-18+24=3
X=18-24+3
X= -3

प्रतिस्थापन इन मूल्यों के चर में मूल डेटा की शुद्धता के प्रति आश्वस्त निर्णय है ।

इस उदाहरण में किया जा सकता है की एक किस्म के किसी भी अन्य प्रतिस्थापन, लेकिन जवाब के लिए माना जाता है एक ही हो.

यह इसलिए होता है कि अग्रणी पहली पंक्ति में शामिल तत्वों के साथ एक बहुत छोटा मान । यह भयानक नहीं है, लेकिन काफी जटिल गणना. इस समस्या का समाधान है गॉस विधि के विकल्प के साथ मुख्य तत्व स्तंभ में है. इसका सार निम्नलिखित में होते हैं: पहली पंक्ति के लिए लग रहा है अधिकतम मापांक में तत्व है, जिसमें स्तंभ में सेट है, परिवर्तन स्थानों के साथ 1 मीटर स्तंभ है, कि है, अधिकतम तत्व का पहला तत्व है मुख्य विकर्ण. अगले एक मानक गणना प्रक्रिया है । यदि आवश्यक हो, प्रक्रिया की अदला-बदली कॉलम दोहराया जा सकता है ।

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इस्तेमाल कर रहे हैं को सुलझाने के लिए वर्ग रेखीय समीकरण की प्रणाली, ढूँढने के उलटा मैट्रिक्स और रैंक के मैट्रिक्स (संख्या के nonzero पंक्तियों).

इस विधि का सार है कि स्रोत प्रणाली के रास्ते से परिवर्तन हो जाता है की पहचान मैट्रिक्स, के साथ आगे की खोज चर का मान.

इस एल्गोरिथ्म के रूप में निम्नानुसार है:

1. इस प्रणाली के समीकरण के रूप में दिया जाता है की विधि में गॉस, में त्रिकोणीय फार्म.

2. प्रत्येक पंक्ति में बांटा गया है एक निश्चित संख्या पर इतना है कि मुख्य विकर्ण निकला इकाई है.

3 है । अंतिम पंक्ति से गुणा किया जाता है कुछ संख्या और घटाया से अगले करने के लिए पिछले करने के रूप में तो नहीं पर मुख्य विकर्ण के लिए 0 है ।

4. आपरेशन 3 दोहराया है क्रमिक रूप से सभी के लिए, पंक्तियों के अंत में जब तक के रूप में नहीं पहचान मैट्रिक्स है.


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