Метод Гауса: приклади рішень та приватні випадки

Дата:

2018-12-31 22:20:09

Перегляди:

500

Рейтинг:

1Дизлайк 0Любити

Поділитися:

Table of contents:

Метод Гаусса, також званий методом покрокового виключення невідомих змінних, названий ім'ям видатного німецького вченого К. Ф. Гаусса, ще за життя отримав неофіційний титул "короля математиків". Однак даний метод був відомий задовго до зародження європейської цивілізації, ще в I в. до н. е .. стародавні китайські вчені використовували його в своїх працях.метод Гауса

Метод Гаусса є класичним способом розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Він ідеальний для швидкого вирішення обмежених за розміром матриць.

Сам метод складається з двох ходів: прямого і зворотного. Прямим ходом називається послідовне приведення СЛАР до трикутного вигляду, тобто обнулення значень, що знаходяться під головною діагоналлю. Зворотний хід передбачає послідовне знаходження значень змінних, висловлюючи кожну змінну через попередню.

Навчитися застосовувати на практиці метод Гаусса просто, достатньо знання елементарних правил множення, додавання і віднімання чисел.

Для того, щоб наочно показати алгоритм розв'язання лінійних систем даним методом, розберемо один приклад.

Отже, вирішити, використовуючи метод Гауса:

X+2y+4z=3
2x+6y+11z=6
4x-2y-2z=-6

Нам потрібно у другій і третій рядках позбутися від змінної х. Для цього ми додаємо до них першу, помножену на -2 і -4 відповідно. Отримаємо:

X+2y+4z=3
2y+3z=0
-10y-18z=-18

Тепер 2-ю рядок помножимо на 5 і додамо її до 3-їй:

X+2y+4z=3
2y+3z=0
-3z=-18

метод гауса з вибором головного елементаМи привели нашу систему до трикутного вигляду. Тепер здійснюємо зворотний хід. Починаємо з останнього рядка:
-3z =-18,
z=6.

Другий рядок:
2y+3z=0
2y+18=0
2y=-18,
y=-9

Перший рядок:
X+2y+4z=3
X-18+24=3
X=18-24+3
х= -3

Підставляючи отримані значення змінних у вихідні дані, переконуємося в правильності рішення.

Цей приклад може вирішуватися безліччю будь-яких інших підстановок, але відповідь має бути той самий.

Буває так, що на ведучої першої рядку розташовані елементи з дуже малими значеннями. Це не страшно, але досить ускладнює обчислення. Рішенням даної проблеми є метод Гауса з вибором головного елемента по стовпцю. Суть його полягає в наступному: в першому рядку відшукується максимальний по модулю елемент, той стовпець, в якому він розташований, міняють місцями з 1-м стовпчиком, то є наш максимальний елемент стає першим елементом головної діагоналі. Далі йде стандартний процес обчислення. При необхідності процедуру зміни місцями стовпців можна повторити.

Більше:

Перший штучний супутник Землі

Перший штучний супутник Землі

Перший штучний супутник Землі є одним з найбільших досягнень науки ХХ століття. Тим не менш, як це ні парадоксально, цьому великому науковому і технічному досягненню значною мірою сприяла холодна війна між двома наддержавами: США і Радянським Союзом....

Що таке соціалізація, і як вона змінює людину

Що таке соціалізація, і як вона змінює людину

Спробуємо розібратися, що таке соціалізація, в чому її сутність і особливість. Адже для кожної особистості входження у суспільство і засвоєння його основних норм є фундаментом до подальшої безпроблемною і успішного життя і діяльності. Отже, що таке с...

Принц Чарльз – головний спадкоємець британського престолу

Принц Чарльз – головний спадкоємець британського престолу

Згідно із законом королівства Великобританія, спадкоємець британського престолу - це старший закононароджена син чинного монарха або ж попереднього претендента на престол. Однак якщо у царюючого особи немає дитини чоловічої статі, то право спадкуванн...

метод жордана гауссаЩе одним модифікованим методом Гаусса є метод Жордана-Гауса.

Застосовується при вирішенні квадратних СЛАУ, при знаходженні оберненої матриці та рангу матриці (кількості ненульових рядків).

Суть цього методу в тому, що вихідна система шляхом перетворень перетворюється в одиничну матрицю з подальшим отысканием значень змінних.

Алгоритм його такий:

1. Система рівнянь приводиться, як і в методі Гаусса, до трикутного вигляду.

2. Кожна строчка ділиться на певне число з таким розрахунком, щоб на головній діагоналі вийшла одиниця.

3. Остання строчка множиться на якесь число і віднімається з передостанньою з таким розрахунком, щоб не на головній діагоналі отримати 0.

4. Операція 3 повторюється послідовно для всіх рядків, поки зрештою не утворюється одинична матриця.


Article in other languages:

AR: https://tostpost.com/ar/education/13223-gaussian-elimination-examples-of-solutions-and-special-cases.html

BE: https://tostpost.com/be/adukacyya/23670-metad-ga-sa-pryklady-rashennya-pryvatnyya-vypadk.html

DE: https://tostpost.com/de/bildung/23681-gau--elimination-beispiele-f-r-l-sungen-und-sonderf-lle.html

En: https://tostpost.com/education/10156-gaussian-elimination-examples-of-solutions-and-special-cases.html

ES: https://tostpost.com/es/la-educaci-n/23704-el-m-todo-de-gauss-ejemplos-de-soluciones-y-casos-particulares.html

HI: https://tostpost.com/hi/education/13235-gaussian-elimination-examples-of-solutions-and-special-cases.html

JA: https://tostpost.com/ja/education/13242-gaussian-elimination-examples-of-solutions-and-special-cases.html

KK: https://tostpost.com/kk/b-l-m/23650-gauss-d-s-mysaldar-shesh-mder-men-zheke-zha-daylar.html

PL: https://tostpost.com/pl/edukacja/23611-metoda-gaussa-przyk-ady-rozwi-za-i-prywatne-przypadki.html

PT: https://tostpost.com/pt/educa-o/23611-o-m-todo-de-gauss-exemplos-de-decis-es-e-casos-especiais.html

TR: https://tostpost.com/tr/e-itim/23660-gauss-y-ntemi-rnek-z-mleri-ve-zel-durumlar.html

ZH: https://tostpost.com/zh/education/13917-gaussian-elimination-examples-of-solutions-and-special-cases.html






Alin Trodden - автор статті, редактор
"Привіт, Я Алін Тродден. Я пишу тексти, читаю книги і шукаю враження. І я непогано вмію розповідати вам про це. Я завжди радий брати участь у цікавих проектах."

Примітка (0)

Ця стаття не має коментарів, будьте першим!

Додати коментар

Новини

Світовий курорт Анапа - це Росія чи Україна?

Світовий курорт Анапа - це Росія чи Україна?

Анапа – це Росія чи Україна? Кому-то питання може здатися дивним, проте деяким дійсно невідомо, якого державі належить це місто.Загальна характеристикаОтже, слід дати відповідь на питання: “Анапа – це Росія чи Ук...

Повна біографія Степана Бандери

Повна біографія Степана Бандери

1 січня 1909 року в селі Старий Угринів на території Галичини народився Степан Андрійович Бандера – ідеолог та один з основоположників націоналістичного руху України. Його діяльність досі викликає запеклі суперечки, хоча з д...

Георгіївські хрести 4 ступенів: історія та особливості карбування

Георгіївські хрести 4 ступенів: історія та особливості карбування

Георгіївські хрести 4 ступенів були засновані як найвища нагорода, якою нагороджували представників нижчих чинів в армії Російської імперії. Її вручали тільки за особисту мужність, виявлену на полі бою. Незважаючи на те що цієї на...

Поцілунок Мері Пікфорд: біографія та фото

Поцілунок Мері Пікфорд: біографія та фото

Мабуть, ні одна актриса дозвукового кіно не володіла такою популярністю, як Мері Пікфорд. Актриса театру і кіно, перша бізнес-леді Голлівуду, засновниця ряду акторських номінацій та інше, та інше. Важко сказати, у чому полягала її...

Феодальний лад: виникнення і особливості

Феодальний лад: виникнення і особливості

Феодалізм був невід'ємною частиною європейського Середньовіччя. При цьому соціально-політичному ладі великі землевласники користувалися величезними повноваженнями і впливом. Опорою влади їх було закріпачене і безправне селянство.З...

Незаслужено забуті слова зі словника Даля - приклади, історія та цікаві факти

Незаслужено забуті слова зі словника Даля - приклади, історія та цікаві факти

Мовознавці та літературознавці асоціює російську мову з цим живим організмом, в якому постійно відбуваються різноманітні зміни. Словниковий склад мови постійно змінюється, за майже десять століть його існування в ньому з'явилися з...