Gauß-Elimination: Beispiele für Lösungen und Sonderfälle

Datum:

2019-01-07 12:20:21

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Gauß-Jordan-Elimination, auch als Methode der schrittweisen Ausschluss von unbekannten Variablen, benannt nach dem Namen des hervorragenden deutschen Wissenschaftler C. F. Gauß, noch zu Lebzeiten erhielt den inoffiziellen Titel "König der Mathematik". Allerdings ist diese Methode bekannt wurde lange vor der Entstehung der europäischen Zivilisation, noch im I. Jh. v. Chr., alte chinesische Wissenschaftler haben ihn in seinen Schriften.Gauß-Jordan-Elimination

Gauß-Elimination ist die klassische Art und Weise der lsung der Systeme der linearen algebraischen Gleichungen (SLAE). Es ist ideal für eine schnelle Lösung der begrenzten Größe der Matrizen.

Die Methode Selbst besteht aus zwei Zügen: vorwärts und rückwärts. Auf direktem Wege wird als konsequente Anführung Slough zu dreieckigen Augen, das heißt die Werte, die sich unterhalb der Hauptdiagonalen. Umgekehrt impliziert die konsequente Verbleib von Werten der Variablen, mit dem Ausdruck jede Variable durch die Vorherige.

Zu Lernen, wie man in der Praxis die Methode der Gauß einfach, genügend Kenntnisse der grundlegenden Regeln der Multiplikation, addition und Subtraktion von zahlen.

Um zu zeigen, Algorithmus zur Lösung von linearen Systemen mit dieser Methode, betrachten wir ein Beispiel.

Also, lösen mit Gauß-Elimination:

X+2y+4z=3
2x+6y+11z=6
4x-2y-2z=-6

Wir müssen in der zweiten und Dritten Zeilen loswerden der Variablen X. dazu addieren wir dazu die erste, multipliziert mit der -2 und -4 bzw. Erhalten wir:

X+2y+4z=3
2y+3z=0
-10y-18z=-18

Jetzt den 2-TEN Platz 5 multiplizieren und fügen Sie ihn an der 3:

X+2y+4z=3
2y+3z=0
-3z=-18

Gauß-Jordan-Elimination mit der Wahl des ElementsWir haben unser System auf der dreieckigen Auge. Jetzt führen Rückhub. Wir beginnen mit der letzten Zeile:
-3z =-18,
z=6.

Die Zweite Zeile:
2y+3z=0
2y+18=0
2y=-18,
y=-9

Die Erste Zeile:
X+2y+4z=3
X-18+24=3
X=18-24+3
X= -3

Setzt man die erhaltenen Werte der Variablen in den Originaldaten, Vertrauen in die Richtigkeit der Entscheidung.

Dieses Beispiel kann entschieden werden, viele andere Substitutionen, aber die Antwort sollte sich herausstellen das gleiche.

So kommt es, dass auf der ersten Zeile sind die Elemente mit zu geringen Werten. Es ist nicht schrecklich, aber ziemlich erschwert die Berechnung. Die Lösung ist die Gauß-Elimination mit der Auswahl des Elementes für die Spalte. Sein Wesen besteht im folgenden: in der ersten Zeile angestrebt wird, ist die maximale modulo Element, die Spalte, in der er sich befindet, tauschen die Plätze mit der 1. Spalte, das heißt, unser maximales Element wird das erste Element der Hauptdiagonale. Als Nächstes kommt ein Standard-Prozess für die Berechnung. Bei Bedarf die Prozedur Veränderungen stellenweise Spalten wiederholt werden kann.

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die Gauß-JordanNoch einer modifizierten Methode ist die Methode der Gauß Jordan-GAUSS.

Wird bei der Lösung der quadratischen Slough, wenn Sie sich inverse Matrix und der Rang der Matrix (Anzahl der Zeilen ungleich null).

Das Wesen dieser Methode darin, dass das Quellsystem durch Transformation verwandelt sich in eine einzelne Matrix mit weiteren отысканием Variablenwerte.

Der Algorithmus es ist wie folgt:

1. Das Gleichungssystem wird, wie in der Methode von Gauß, die dreieckigen Augen.

2. Jede Zeile ist unterteilt in eine bestimmte Anzahl in der Absicht, um auf die Hauptdiagonale Einheit war.

3. Die Letzte Zeile multipliziert eine Zahl und subtrahiert von der vorletzten in der Absicht, um nicht auf der Hauptdiagonale 0 ist.

4. Schritt 3 wiederholt sich für alle Zeilen nacheinander, bis schließlich die Einheitsmatrix gebildet wird.


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