Парність функції

Парність і непарність функції є одним з основних її властивостей та дослідження функції на парність займає значну частину шкільного курсу математики. Вона у багато визначає характер поведінки функції і значно полегшує побудову відповідного графіка.

Визначимо парність функції. Взагалі кажучи, досліджувану функцію вважають парної, якщо для протилежних значень незалежної змінної (x), що знаходяться в її області визначення, відповідні значення y (функції) виявляться рівними.

Дамо більш строге визначення. Розглянемо деяку функцію f (x), яка задана в області D. Вона буде парної, якщо для будь-якої точки x, розташованої в області визначення:

• -x (протилежна точка) також лежить в даній області визначення,

• f (-x) = f (x).

З наведеного визначення випливає умова, необхідне для області визначення такої функції, а саме, симетричність відносно точки О , яка є початком координат, оскільки якщо деяка точка b міститься в області визначення парної функції, то відповідна точка - b теж лежить в цій області. З вищесказаного, таким чином, випливає висновок: парна функція має симетричний відносно осі ординат (Oy) вигляд.

Як на практиці визначити парність функції?

Нехай функціональна залежність задається з допомогою формули h(x)=11^x+11^(-x). Дотримуючись алгоритму, вытекающему безпосередньо з визначення, досліджуємо насамперед її область визначення. Очевидно, що вона визначена для всіх значень аргументу, тобто перша умова виконана.

Більше:

Перший штучний супутник Землі

Перший штучний супутник Землі є одним з найбільших досягнень науки ХХ століття. Тим не менш, як це ні парадоксально, цьому великому науковому і технічному досягненню значною мірою сприяла холодна війна між двома наддержавами: США і Радянським Союзом....

Що таке соціалізація, і як вона змінює людину

Спробуємо розібратися, що таке соціалізація, в чому її сутність і особливість. Адже для кожної особистості входження у суспільство і засвоєння його основних норм є фундаментом до подальшої безпроблемною і успішного життя і діяльності. Отже, що таке с...

Принц Чарльз – головний спадкоємець британського престолу

Згідно із законом королівства Великобританія, спадкоємець британського престолу - це старший закононароджена син чинного монарха або ж попереднього претендента на престол. Однак якщо у царюючого особи немає дитини чоловічої статі, то право спадкуванн...

Наступним кроком підставимо замість аргументу (x) його протилежне значення (-x).
Маємо :
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Оскільки складання задовольняє коммутативному (переместительному) закону, то очевидно, h(-x) = h(x) задана функціональна залежність – парна.

Перевіримо парність функції h(x)=11^x-11^(-x). Слідуючи тому ж алгоритму, отримуємо, що h (x) = 11^(-x) -11^x. Винісши мінус, в підсумку, маємо
h(-x)=-( 11^x-11^(-x))= h(x). Отже, h(x) – непарна.

до Речі, слід нагадати, що є функції, які неможливо класифікувати за цими ознаками, їх називають ні парними, ні непарними.

Парні функції мають ряд цікавих властивостей:

• в результаті складання подібних функцій отримують парну;
• в результаті віднімання таких функцій отримують парну;
• функція, зворотна парної, також парна;
• у результаті множення двох таких функцій отримують парну;
• в результаті множення непарної і парної функцій отримують непарну;
• в результаті поділу непарної і парної функцій отримують непарну;
• похідна такої функції – непарна;
• якщо звести непарну функцію в квадрат , одержимо парну.

Парність функції можна використовувати при вирішенні рівнянь.

Щоб розв'язати рівняння типу g(x) = 0, де ліва частина рівняння представляє з себе парну функцію, буде цілком достатньо знайти її рішення для невід'ємних значень змінної. Отримані корені рівняння необхідно об'єднати з протилежними числами. Один з них підлягає перевірці.

Це ж властивість функції успішно застосовують для розв'язання нестандартних задач з параметром.

Наприклад, чи є яке-небудь значення параметра a, при якому рівняння 2x^6-x^4-ax^2=1 буде мати три кореня?

Якщо врахувати, що змінна входить в рівняння парних степенях, то зрозуміло, що заміна х на – х задане рівняння не змінить. Звідси випливає, що якщо деяке число є його коренем, то їм же є і протилежне число. Висновок очевидний: корені рівняння, відмінні від нуля, входять в безліч його рішень «парами».

Ясно, що число 0 коренем рівняння не є, тобто число коренів такого рівняння може бути лише парних і, природно, ні при якому значенні параметра воно не може мати трьох коренів.

А ось число коренів рівняння 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 може бути непарною, причому для будь-якого значення параметра. Дійсно, легко перевірити, що безліч коренів даного рівняння містить рішення «парами». Перевіримо, чи є 0 коренем. При підстановці її в рівняння, отримуємо 2=2 . Таким чином, крім «парних» 0 також є коренем, що і доводить їх непарна кількість.