समीकरण के एक विमान: कैसे बनाने के लिए? प्रकार के समीकरणों का एक विमान

अंतरिक्ष विमान में सेट किया जा सकता अलग अलग तरीकों में (एक बिंदु और एक वेक्टर, दो अंक और एक वेक्टर, तीन अंक, आदि.). के साथ कि मन में, समीकरण के विमान में कर सकते हैं के विभिन्न प्रकार है. इसके अलावा, कुछ शर्तों के अधीन, विमान हो सकता है, समानांतर, सीधा, पारस्परिक, आदि. और इस बात के बारे में इस लेख में. हम सीखना होगा कि कैसे प्राप्त करने के लिए एक सामान्य समीकरण का एक विमान और न केवल.

सामान्य समीकरण

उदाहरण के लिए, वहाँ है एक अंतरिक्ष अनुसंधान_{3, जो एक आयताकार समन्वय प्रणाली XYZ. हम को परिभाषित वेक्टर &अल्फा;, जो जारी किया जाएगा प्रारंभिक बिंदु से ओ के अंत के माध्यम से वेक्टर &अल्फा; आकर्षित एक विमान P जो सीधा करने के लिए है ।}

द्वारा निरूपित P एक मनमाने ढंग से बात क्यू=(x,y,z) है । त्रिज्या-वेक्टर के बिंदु क्यू जाएगा पत्र पर हस्ताक्षर R. लंबाई के वेक्टर &अल्फा; आर के बराबर है=मैं&अल्फा;मैं और Ʋʋ=(cos&अल्फा; क्योंकि&बीटा; क्योंकि&गामा;).

यह एक इकाई वेक्टर है कि निर्देशित दिशा में वेक्टर के रूप में के &अल्फा;. &अल्फा; और बीटा; और &गामा; – कोण के बीच का गठन एक वेक्टर Ʋʋ और सकारात्मक दिशा की कुल्हाड़ियों के अंतरिक्ष x, y, z, क्रमशः. प्रक्षेपण के किसी भी बिंदु पर QϵП Ʋʋ वेक्टर है, जो निरंतर आर के बराबर है: (p,Ʋʋ) = p(p&जीई;0).

निर्दिष्ट समीकरण समझ में आता है जब R=0 है । केवल विमान पी इस मामले में पार कर जाएगा बिंदु (&अल्फा;=0) है, जो मूल है, और इकाई वेक्टर Ʋʋ से निकाल बात हे सीधा करने के लिए P के बावजूद, इसकी दिशा है, जो मतलब है कि Ʋʋ वेक्टर निर्धारित किया जाता है पर हस्ताक्षर करने के लिए. पूर्ववर्ती समीकरण समीकरण है की हमारे विमान P व्यक्त किया है वेक्टर के रूप में. लेकिन निर्देशांक में यह इस तरह दिखेगा:

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यहाँ, अनुसंधान की तुलना में अधिक है या बराबर 0 करने के लिए है । हमने पाया है समीकरण के एक विमान में अंतरिक्ष में सामान्य रूप में.

सामान्य समीकरण

यदि समीकरण में निर्देशांक से गुणा किसी भी संख्या है कि शून्य नहीं है, हम प्राप्त करेंगे के समीकरण में, यह करने के लिए बराबर है निर्दिष्ट करने के एक ही विमान है । यह इस तरह दिखेगा:

यहाँ A, b, C – इस संख्या के साथ-साथ अलग से शून्य है । इस समीकरण के रूप में जाना जाता है समीकरण के एक विमान, सामान्य रूप में.

समीकरण के विमानों. विशेष मामलों में

इस समीकरण सामान्य रूप में संशोधित किया जा सकता अतिरिक्त के साथ स्थिति. कुछ पर विचार करें ।

मान लीजिए कि एक गुणांक 0 के बराबर है. इसका मतलब यह है कि दिए गए विमान के समानांतर धुरी बैल है । इस मामले में, समीकरण बदल जाएगा: नजरों से देख+Cz+डी=0 है ।

इसी प्रकार, समीकरण बदल जाएगा निम्नलिखित शर्तों के अधीन:

के रूप में समीकरण क्षेत्रों

जब मामले में संख्याओं A, b, C, D nonzero हैं, समीकरण (0) के रूप में हो सकता है इस प्रकार है:

X/a + y/b + जेड/सी = 1

में जो एक = -D/A, b = -D/, सी = डी/एस

जिसके परिणामस्वरूप समीकरण विमान के क्षेत्रों में. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस विमान को पार कर जाएगा अक्ष बैल पर बिंदु के निर्देशांक (a,0,0), ओह – (0,b,0), और आस्ट्रेलिया – (0,0,C).

दिए गए समीकरण x/a + y/b + जेड/सी = 1, यह आसान है की कल्पना करने के लिए स्थान के विमान के सापेक्ष परिभाषित समन्वय प्रणाली.

निर्देशांक के सामान्य वेक्टर

सामान्य वेक्टर एन करने के लिए विमान P निर्देशांक है कि कर रहे हैं के coefficients के समीकरण को सामान्य इस विमान के साथ, कि है, एन (ए,बी,सी) है.

निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एन, यह पता करने के लिए पर्याप्त सामान्य समीकरण का एक विमान दिया है.

जब का उपयोग कर समीकरण क्षेत्रों में है, जो फार्म/एक्स, एक वाई/b + जेड/सी = 1, के रूप में सामान्य समीकरण, हम लिख सकते हैं निर्देशांक के किसी भी सामान्य वेक्टर के लिए एक विमान दिया है: (1/एक + 1/बी + 1/C).

यह ध्यान देने योग्य है कि सामान्य वेक्टर में मदद करता है को हल करने के लिए समस्याओं की एक किस्म है । सबसे आम उद्देश्य सबूत के खड़ापन या समानता की सतहों, खोजने का काम कोण के बीच विमानों या दोनों के बीच के कोण के विमानों और सीधे लाइनों.

के रूप समीकरण विमान के अनुसार करने के लिए बिंदु के निर्देशांक और सामान्य वेक्टर

एक Nonzero वेक्टर एन सीधा करने के लिए निर्दिष्ट विमान कहा जाता है, सामान्य (सामान्य) के लिए विमान दिया है.

में है कि मान लीजिए समन्वय अंतरिक्ष (आयताकार समन्वय प्रणाली) Oxyz निर्दिष्ट किया जाता है:

हम की जरूरत है लिखने के लिए समीकरण के विमान होगा, जो के माध्यम से पारित बिंदु मो सीधा करने के लिए सामान्य n.

अंतरिक्ष में हम चुन किसी भी मनमाने ढंग से बात और यह निरूपित M (एक्स,जेड) है । चलोत्रिज्या-वेक्टर के किसी भी बिंदु M (x,y,z) r=x*मैं+y*j+z*कश्मीर, और त्रिज्या-वेक्टर के बिंदु मो (xₒ,yₒ,zₒ) – rₒ=xₒ*मैं+yₒ*जम्मू+zₒ*कश्मीर. बिंदु एम जाएगा करने के लिए संबंधित निर्दिष्ट विमान, यदि वेक्टर के IOM होगा सीधा करने के लिए वेक्टर एन. लिखने की शर्त orthogonality का उपयोग डॉट उत्पाद:

[IOM, एन] = 0 है ।

के बाद से MΩ = r– rₒ, वेक्टर समीकरण के एक विमान को इस तरह दिखेगा:

[आर-rₒ, एन] = 0 है ।

इस समीकरण अलग आकार हो सकता है । इस प्रयोजन के लिए, गुण के अदिश उत्पाद, और परिवर्तित करने के लिए छोड़ दिया, इस समीकरण के पक्ष । [आर-rₒ, एन] = [r, n] – [rₒ, एन]. अगर [rₒ, एन] द्वारा निरूपित C, हम निम्न समीकरण: [आर, एन] - C = 0 या [आर, एन] = ग, जो व्यक्त की भक्ति पर अनुमानों के सामान्य वेक्टर के त्रिज्या-वैक्टर के अंक दिए हैं कि करने के लिए विमान है.

यह अब संभव है के लिए समन्वय रिकॉर्ड वेक्टर समीकरण के हमारे विमान [आर-rₒ, एन] = 0 है । के बाद से, आर–rₒ = (x–xₒ)*मैं + (–yₒ)*j + (z-zₒ)*कश्मीर और एन = एक*मैं+एक*j+सी*कश्मीर, हम है:

तो, हम का गठन किया है समीकरण के विमान गुजर बिंदु के माध्यम से सीधा करने के लिए सामान्य n:

एक*(x - xₒ)+*(– yₒ)*(z-zₒ)=0 है ।

के रूप समीकरण के अनुसार विमान के लिए निर्देशांक के दो अंक और एक वेक्टर, समरेख विमान के लिए

हम परिभाषित दो अंकों की मनमानी मीटर और प्रधानमंत्री; (x और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;,जेड और प्रधानमंत्री;) और एम और प्रधानमंत्री; (x और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;,जेड और प्रधानमंत्री;) और एक वेक्टर (एक और प्रधानमंत्री; और और प्रधानमंत्री;,और").

अब हम लिख सकते हैं समीकरण के विमान दिया जाएगा, जो पास के माध्यम से बात M और प्रधानमंत्री; एम और प्रधानमंत्री;, और किसी भी बिंदु के साथ एम के निर्देशांक (एक्स,वाई,जेड) के समानांतर एक निर्दिष्ट वेक्टर है.

वैक्टर में मीटर और प्रधानमंत्री;M={x-x और प्रधानमंत्री;, टी और प्रधानमंत्री;;जेड और प्रधानमंत्री;} मीटर और प्रधानमंत्री;M={x और प्रधानमंत्री; एक्स और प्रधानमंत्री;;यू और प्रधानमंत्री;-y और प्रधानमंत्री; जेड और प्रधानमंत्री; जेड और प्रधानमंत्री;} किया जाना चाहिए समतलीय के साथ वेक्टर एक=(एक और प्रधानमंत्री; और और प्रधानमंत्री;,और") का मतलब है, जो (M और प्रधानमंत्री;एम और प्रधानमंत्री;M, a)=0 है ।

तो, हमारी समीकरण के विमान अंतरिक्ष में इस तरह दिखेगा:

के रूप समीकरण की है कि विमान intersects तीन अंक

मान लीजिए कि हम तीन अंक है: (एक्स और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;,जेड और प्रधानमंत्री;), (एक्स और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;,जेड और प्रधानमंत्री;), (x","y,z") संबंधित नहीं है कि करने के लिए एक सीधी रेखा है । आप लिखना चाहिए समीकरण के विमान के माध्यम से गुजर निर्दिष्ट तीन अंक है । के सिद्धांत ज्यामिति का दावा है कि इस तरह के एक विमान मौजूद है, को छोड़कर वह एक और केवल । के बाद से इस विमान intersects बिंदु (एक्स और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;,जेड और प्रधानमंत्री;), अपने समीकरण हो जाएगा के रूप में इस प्रकार है:

यहाँ A, b, C शून्य से अलग एक ही समय में. भी दिए गए विमान intersects दो अंक: (एक्स और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;,जेड और प्रधानमंत्री;) और (x","y,z") । इस संबंध में यह प्रदर्शन किया जाना चाहिए इस तरह की स्थिति:

अब हम कर सकते हैं नीचे लिखने के एक सजातीय प्रणाली के समीकरण (रैखिक) के साथ अज्ञात u, v, w:

हमारे मामले में x,y या z कार्य मनमाने ढंग से बात को संतुष्ट करता है कि समीकरण (1). दिए गए समीकरण (1) और इस प्रणाली के समीकरण (2) और (3) समीकरणों के सिस्टम पर दिखाया आंकड़ा ऊपर, संतुष्ट वेक्टर एन (ए,बी,सी) है, जो गैर तुच्छ है । यह है क्योंकि निर्धारक इस प्रणाली के शून्य के बराबर है ।

समीकरण (1), जो हमने किया है, इस समीकरण के विमान है. 3 यह बात निश्चित रूप से है, और यह जांच करने के लिए आसान है । इस के लिए आप की जरूरत है, बाहर रखना करने के लिए हमारी कुंजी तत्वों के लिए पहली पंक्ति में है । मौजूदा गुण के निर्धारक यह इस प्रकार है कि हमारे विमान के साथ-साथ intersects तीन मूल रूप से दिए गए अंक (एक्स और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;,जेड और प्रधानमंत्री;), (एक्स और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;,जेड और प्रधानमंत्री;), (x","y,z") । तो हम का फैसला किया है काम के सेट के लिए.

डिहेड्रल कोण के बीच विमानों

डिहेड्रल कोण एक स्थानिक ज्यामितीय आंकड़ा द्वारा गठित दो आधे-विमानों से उत्पन्न होने वाले एक ही लाइन है । दूसरे शब्दों में, इस अंतरिक्ष का हिस्सा है, जो प्रतिबंधित करने के लिए इन आधे-विमानों.

मान लीजिए कि हम दो विमानों के साथ निम्न समीकरण:

हम जानते हैं कि वैक्टर एन=(ए,बी,सी) और एन और sup1;=(एक और sup1; और sup1;, और sup1;) सीधा कर रहे हैं के अनुसार निर्दिष्ट विमानों. इस संबंध में, कोण और फी के बीच वैक्टर छोटा है N और N और sup1; है करने के लिए बराबर कोण (डिहेड्रल) स्थित है, जो बीच में इन विमानों. अदिश उत्पाद के रूप में:

एनएन और sup1;=|एन|के लिए|N और sup1;|फ़ॉन्ट &फी;

क्योंकि

क्योंकि&फी;= NN¹/|N||N¹|=(a¹+W¹+SS¹)/((√(A²+B²+S²))*(√(A¹)²+(V¹)²+(S¹)²)).

<आइएमजी alt="खोजने के समीकरण के एक विमान" ऊंचाई="349" src="/images/2018-Mar/22/883dcc71d9899b77ef3dd47f5d0faacd/14.jpg" चौड़ाई="346" />

यह पर्याप्त है कि नोट करने के लिए 0≤&फी;≤&पीआई;.

वास्तव में है कि दो विमानों एक दूसरे को काटना करने के लिए फार्म के दो कोण (डिहेड्रल): &फी;_{1 और &फी;2. की राशि उन्हें करने के लिए बराबर है और गड़बड़ी; (&फी;1+ &फी;2= &पीआई;). के लिए के रूप में उनके कोसाइन, उनके निरपेक्ष मूल्यों के बराबर हैं, लेकिन वे में मतभेद है, कि संकेत है, क्योंकि &फी;1=-cos &फी;2. यदि समीकरण (0) को प्रतिस्थापित करने के लिए ए, बी और सी संख्या ए, बी और सी, क्रमशः है, तो समीकरण है कि हम मिल जाएगा का निर्धारण एक ही विमान, केवल कोण और फी; समीकरण में cos &फी;= एनएन¹/|एन|के लिए|N¹| द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा और पीआई;-&फी;.}

का समीकरण सीधा करने के लिए विमान

बुलाया सीधा विमान, जो बीच के कोण 90 डिग्री है. सामग्री का उपयोग कर प्रस्तुत किया ऊपर, हम पा सकते हैं समीकरण के एक विमानसीधा करने के लिए अन्य. चलो कहना है कि हम दो विमानों: ax+वू+Cz+डी=0 है और एक और sup1;एक्स और sup1;+और sup1;z+D=0 है । हम कह सकते हैं कि वे होगा यदि सीधा cos&फी;=0 है । इसका मतलब यह है कि एनएन और sup1;=ए. ए. और sup1;+बी और sup1;+एस एस और sup1;=0 है ।

इस समीकरण के समानांतर विमान

करने के लिए भेजा के रूप में दो समानांतर विमानों शामिल नहीं है, जो आम अंक है ।

की हालत समानता के विमानों (उनके समीकरणों कर रहे हैं उसी के रूप में पिछले पैराग्राफ में) है कि वैक्टर छोटा है N और N और sup1; वे सीधा कर रहे हैं, समरेख. इसका मतलब यह है कि निम्न स्थितियों की समानता:

एक/एक और sup1;=/और sup1;=/और sup1;.

अगर स्थिति की समानता बढ़ा रहे हैं करने के लिए एक/एक और sup1;=/और sup1;=/और sup1;=डीडी और sup1;

यह इंगित करता है कि डेटा विमान ही हैं । इसका मतलब यह है कि समीकरण ax+वू+Cz+डी=0 है और एक और sup1;एक्स और sup1;+और sup1;z+D और sup1;=0 का वर्णन एक ही विमान है.

दूरी के विमान के लिए एक बिंदु से

मान लीजिए कि हम एक विमान पी द्वारा दिया जाता है जो समीकरण (0) है । आप की जरूरत है खोजने के लिए के बीच की दूरी के साथ एक बिंदु निर्देशांक (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. ऐसा करने के लिए, आप की जरूरत है देने के लिए समीकरण के विमान पी में एक सामान्य रूप है:

(&रो; v)=p (p&जीई;0).

इस मामले में &रो; (x,y,z) है त्रिज्या वेक्टर के हमारे क्यू बिंदु पर स्थित, पी, आर & ndash; है की लंबाई को सीधा P, जो जारी किया गया था शून्य बिंदु से, v – एक इकाई वेक्टर है कि दिशा में है.

&रो;-&रो;º त्रिज्या वेक्टर के किसी भी बिंदु क्यू=(x,y,z) से संबंधित करने के लिए P, और त्रिज्या-वेक्टर के एक भी बिंदु Q_{0=(xₒ,yₒ,zₒ) है इस तरह के एक सदिश के साथ, निरपेक्ष मूल्य के प्रक्षेपण में जो v के बराबर की दूरी डी, जो की जरूरत है पाया जा करने के लिए से Q0=(xₒ,yₒ,zₒ) के लिए पी:}

डी=|(और रो;-&रो;⁰,v)| है, लेकिन

(&रो;-&रो;⁰,v)= (&रो; v)–(&रो;⁰,v) =आर (&रो;⁰,v).

,

डी=|(और रो;⁰,v)-R|.

अब आप देख सकते हैं की गणना करने के लिए दूरी d से Q_{0 विमान के लिए P, यह आवश्यक है का उपयोग करने के लिए सामान्य समीकरण का एक विमान स्थानांतरित करने के लिए, बाईं ओर करने के लिए अनुसंधान, और पिछले है x,y,z करने के लिए विकल्प (xₒ,yₒ,zₒ).}

इस प्रकार, हम को खोजने के लिए निरपेक्ष मूल्य के परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति, d की मांग की है.

का उपयोग भाषा के मानकों को प्राप्त कर रहे हैं स्पष्ट है:

डी=|AXO+Vuo+Czₒ|/√(एक²+²+C²).

यदि निर्दिष्ट बिंदु है क्यू_{0 दूसरे पक्ष पर है के विमान पी के रूप में मूल, वेक्टर &रो;-&रो;⁰ और v है एक कुंठित कोण के साथ, इस प्रकार है:}

D=-(&रो;-&रो;⁰,v)=(&रो;⁰,v)-R>0.

इस मामले में जब बात Q₀ के साथ एक साथ मूल के निर्देशांक पर स्थित है के एक ही पक्ष P, बनाया के कोण तेज है, वह यह है:

D=(&रो;-&रो;⁰,v)=आर (&रो;⁰, v)>0.

परिणाम है कि पहले मामले में (&रो;⁰,v)>आर दूसरे में (&रो;⁰,v) और लेफ्टिनेंट;आर

स्पर्शरेखा विमान और अपने समीकरण है

पर विमान पर सतह के लिए स्पर्शरेखा बिंदु Mº – इस विमान से युक्त सभी संभव उभयनिष्ठ करने के लिए घटता है, के माध्यम से तैयार इस बिंदु पर सतह है.

इस रूप में के समीकरण की सतह F(x,y,z)=0 समीकरण स्पर्शरेखा विमान पर एक स्पर्श बिंदु Mº(xº,º,zº) इस तरह दिखेगा:

F_{X(xº,º,zº)(x - xº)+ FX(xº,º, zº)(u - uº)+ FX(xº,º,zº)(z-zº)=0 है ।}

यदि आप एक निर्दिष्ट सतह में एक स्पष्ट रूप z=f (x,y), स्पर्शरेखा विमान होगा समीकरण द्वारा वर्णित है:

Z-zº =f(xº,º)(x - xº)+f(xº,º)(u - uº).

चौराहे के दो विमानों

तीन आयामी अंतरिक्ष में है निर्देशांक की एक प्रणाली (आयताकार) Oxyz, दिए गए दो विमानों P और प्रधानमंत्री; P&प्रधानमंत्री;, जो एक दूसरे को काटना और मेल नहीं है. क्योंकि किसी भी विमान में आयताकार समन्वय प्रणाली द्वारा निर्धारित किया जाता है सामान्य समीकरण, हम मान लें कि P और प्रधानमंत्री; P&प्रधानमंत्री; द्वारा परिभाषित कर रहे हैं समीकरणों की एक और प्रधानमंत्री;एक्स और प्रधानमंत्री;y और प्रधानमंत्री;z+D और प्रधानमंत्री;=0 और और प्रधानमंत्री;एक्स और प्रधानमंत्री;y और प्रधानमंत्री;z+D और प्रधानमंत्री;=0 है । इस मामले में, हम एक सामान्य n और प्रधानमंत्री; (मैं और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;) - विमान, पी और प्रधानमंत्री; और सामान्य n और प्रधानमंत्री; (मैं और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;) - विमान, पी और प्रधानमंत्री;. के बाद से हमारे विमानों के समानांतर नहीं कर रहे हैं और मेल नहीं खाती है, तो इन वैक्टर नहीं कर रहे हैं समरेख. का उपयोग कर गणित की भाषा में, हम इस हालत में हो सकता है के रूप में लिखा: n और प्रधानमंत्री;≠ एन और प्रधानमंत्री; ↔ (एक और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;, और प्रधानमंत्री;) ≠ (&लैम्ब्डा;*और और प्रधानमंत्री;,&लैम्ब्डा;*और प्रधानमंत्री;,&लैम्ब्डा;*और प्रधानमंत्री;), &लैम्ब्डा;ϵR. चलो सीधी रेखा में निहित है जो के चौराहे पर P और प्रधानमंत्री; P&प्रधानमंत्री;, तारों के द्वारा किया जाएगा एक पत्र में, इस मामले में एक = पी और प्रधानमंत्री; &टोपी के साथ;, पी एंड प्रधानमंत्री;.

– वीडियो से मिलकर सेट के सभी बिंदुओं (कुल) के विमानों P और प्रधानमंत्री; P&प्रधानमंत्री;. इसका मतलब यह है कि निर्देशांक के किसी भी बिंदु से संबंधित करने के लिए एक सीधी रेखा और एक साथ पूरा करना चाहिए समीकरणों की एक और प्रधानमंत्री;एक्स और प्रधानमंत्री;y और प्रधानमंत्री;z+D और प्रधानमंत्री;=0 और और प्रधानमंत्री;एक्स और प्रधानमंत्री;y और प्रधानमंत्री;z+D और प्रधानमंत्री;=0 है । तो, बिंदु के निर्देशांक हो जाएगा निजी समाधान के समीकरणों के निम्नलिखित प्रणाली:

अंत में, यह पता चला है कि करने के लिए समाधान (आम) इस प्रणाली के समीकरणों का निर्धारण करेगा के निर्देशांक के प्रत्येक बिंदु, लाइन जो के रूप में कार्य करेगा के चौराहे के बिंदु P और प्रधानमंत्री; P&प्रधानमंत्री;, और निर्धारित लाइन और एक समन्वय प्रणाली Oxyz (आयताकार) अंतरिक्ष में.