Gleichung der Ebene: wie machen? Arten von Gleichungen der Ebene

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2019-01-09 06:20:37

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Im Raum Ebene kann man auf unterschiedliche Weise festlegen (ein Punkt und ein Vektor, zwei Punkten und der Vektor, die drei Punkte etc.). Angesichts dieser Gleichung der Ebene können verschiedene Arten von. Auch wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind Ebenen können parallel sein, senkrechten, sich überlagernde, etc. und Darüber reden wir in diesem Artikel. Wir lernen, bilden die Allgemeine Gleichung einer Ebene und nicht nur.

Eine Normale Form der Gleichung

Angenommen, es gibt Raum R3, die eine rechteckige Koordinatensystem XYZ. Legen Sie Vektor α, das freigegeben wird von dem Anfangspunkt A. Durch das Ende des Vektors α ziehen wir die Ebene N, die zu ihm senkrecht.

die Gleichung der Ebene

Wir bezeichnen die N beliebigen Punkt Q=(x,Y,z). Der Radiusvektor des Punktes Q Unterschreiben Buchstaben R. die Länge des Vektors α entspricht P=IαI und Ʋʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Dieses Ist ein einzelner Vektor, der in Richtung wie Vektor α. α, β und γ – es ist der Winkel, gebildet zwischen dem Vektor Ʋ und den positiven Richtungen der Achsen des Raumes x, Y, z bzw. Projektion einer bestimmten Stelle QϵП auf Vektor - ist eine Konstante, die gleich P: (P,-) = P(P≥0).

Die Angegebene Gleichung macht Sinn, wenn P=0. Das einzige, Ebene N in diesem Fall wird überqueren den Punkt O (α=0), der Ursprung ist, und ein einzelner Vektor Ʋ veröffentlicht, der von dem Punkt O senkrecht zu N, trotz seiner Richtung, was bedeutet, dass der Vektor Ʋ bestimmt mit einer Genauigkeit von bis zu unterzeichnen. Die vorstehende Gleichung ist eine Gleichung unserer Ebene P, ausgedrückt in vektorieller Form. Aber in den Koordinaten seiner Ansicht wie folgt aus:

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die Gleichung einer parallelen Ebene

P hier ist größer oder gleich 0. Wir fanden die Gleichung einer Ebene im Raum in der üblichen Weise.

Allgemeine Gleichung

Wenn die Gleichung in den Koordinaten auf multiplizieren jede Zahl, die nicht null ist, so erhalten wir eine Gleichung, die äquivalente dieser, der angibt, dass dieselbe Ebene. Es wird wie folgt Aussehen:

Allgemeine Gleichung der Ebene

Hier A, B, C – das sind zahlen, gleichzeitig ungleich null. Diese Gleichung bezeichnet man als die Gleichung der Ebene der Allgemeinen Form.

Die Gleichungen der Ebenen. Sonderfälle

Gleichung in der Allgemeinen Form mutieren kann, wenn es weitere Bedingungen. Betrachten wir einige von Ihnen.

Angenommen, dass der Koeffizient A 0 ist. Dies bedeutet, dass diese Ebene parallel zu einer vorbestimmten Achse OX. In diesem Fall wird die Art der Gleichungen zu ändern: Vu+Cz+D=0.

Ähnlich Aussehen der Gleichung wird verändert und unter den folgenden Bedingungen:

  • Erstens, wenn B=0, was die Gleichung ändert sich zu AH+Cz+D=0, dass Hinweise auf eine Parallelität zur Achse Oh.
  • Zweitens, wenn C=0, dann ist Gleichung umgewandelt AH+Wu+D=0, was wir reden über die parallel zur vorbestimmten Achse Oz.
  • Drittens, wenn D=0, die Gleichung sieht wie AH+Wu+Cz=0, was bedeuten würde, dass die Ebene schneidet O (Ursprung).
  • Viertens: wenn A=B=0, was die Gleichung ändert sich zu Cz+D=0, was zu beweisen Parallelismus zu Oxy.
  • Fünftens, wenn B=C=0, dann ist Gleichung wird AH+D=0, was bedeutet, dass die Ebene zu Oyz parallel.
  • Sechstens, wenn A=C=0, dann ist die Gleichung irgendwie eine Wu+D=0, d.h. meldet über die Parallelität zu Oxz.

Darstellung der Gleichung in den Schnitten

In Fall wenn die zahlen A, B, C, D von null Verschieden, die Art der Gleichung (0) kann wie folgt sein:

X/a + Y/b + z/s = 1,

In dem a = -D/A, b = -D/B, mit = -D/S.

Erhalten wir schließlich die Gleichung der Ebene in den Schnitten. Es ist erwähnenswert, dass diese Ebene schneidet die Achse OX in einem Punkt mit den Koordinaten (a,0,0), Oh – (0,b,0) und Oz – (0,0,C).

die Gleichung einer Ebene im Raum

Mit Berücksichtigung der Gleichung x/a + Y/b + z/s = 1 es ist leicht optisch präsentieren sich die Unterkünfte der Ebene relativ zu einer vorbestimmten Koordinatensystems.

Normalen Koordinaten des Vektors

Den Normalen Vektor n zur Ebene P hat die Koordinaten, die die Koeffizienten der Gleichung der gegebenen Fläche, D. H. n (A,B,C).

schreiben Sie eine Gleichung плоскостий

, um zu bestimmen, die Koordinaten der normalen n, genügt es zu wissen Allgemeine Gleichung einer vorbestimmten Ebene.

Bei der Verwendung der Gleichungen in den Schnitten, die hat die Form x/a + Y/b + z/s = 1, wie bei der Verwendung der Allgemeinen Gleichungen können die Koordinaten aufzeichnen eines normalen Vektors der angegebenen Ebene: (1/a + 1/b + 1/C).

Es ist erwähnenswert, dass der normale Vektor hilft lösen eine Vielzahl von Aufgaben. Zu den häufigsten gehören die Aufgaben, die im Beweis Rechtwinkligkeit oder Parallelität von Ebenen, Aufgaben bei der Entdeckung der Winkel zwischen den Ebenen oder Winkel zwischen Ebenen und geraden.

Darstellung der Gleichung einer Ebene entsprechend den Koordinaten von Punkt und einen normalen-Vektor

Von Null verschiedenen Vektor n, der senkrecht zur angegebenen Ebene, die so genannte normale (normalen) für die angegebene Ebene.

Nehmen wir an, dass in einem Koordinatenraum (rechteckigen Koordinatensystem) Oxyz festgelegt:

  • Punkt Мₒ mit den Koordinaten (хₒ,уₒ,zₒ);
  • Der null-Vektor n=A*i+B*j+C*k.

die Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt

Sie eine Gleichung der Ebene, die durch den Punkt Мₒ senkrecht zur normalen n.

Im Raum wählen Sie jeden beliebigen Punkt und bezeichnen Ihre M (x,z). Lassender Radiusvektor aller Punkte M (x,Y,z) wird r=x*i+Y*j+z*k, und der Radiusvektor des Punktes Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) – rₒ=хₒ*i+уₒ*j+zₒ*k. Der Punkt M gehört einer vorbestimmten Ebene, wenn der Vektor МₒМ senkrecht zu dem Vektor n. Schreiben wir die Bedingung ортогональности mittels Skalarprodukt:

[МₒМ, n] = 0.

Da МₒМ = rürₒ, Vektor-Gleichung einer Ebene wird so Aussehen:

[r ü rₒ, n] = 0.

Diese Gleichung kann eine andere Form haben. Dazu werden die Eigenschaften von Skalarprodukt und konvertiert die linke Seite der Gleichung. [r ü rₒ, n] = [r, n] – [rₒ, n]. Wenn [rₒ, n] bezeichnen als mit, so erhalten wir die folgende Gleichung: [r, n] – mit = 0 oder [r, n] = s, drückt die Beständigkeit der Projektionen auf den normalen Vektor der Radius-Vektoren festgelegten Punkte, die im Besitz einer Ebene.

Jetzt können Sie die Achs-Satzart Vektor unserer Gleichung der Ebene [r ü rₒ, n] = 0. Da rürₒ = (x–хₒ)*i + (Yüуₒ)*j + (züzₒ)*k, und n = A*i+B*j+C*k, die wir haben:

die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt

Rein, bei uns bildet die Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt senkrecht zur normalen n:

A*(x - хₒ)+V*(Yü уₒ)*(züzₒ)=0.

Darstellung der Gleichung einer Ebene entsprechend den Koordinaten von zwei Punkten und Vektoren, коллинеарного Ebene

Legen Sie zwei beliebige Punkte M′ (x′,′,z′) und M″ (x″,″,z″), sowie der Vektor a (a′ und″,a").

Jetzt können wir das bilden einer vorbestimmten Gleichung der Ebene, die durch die vorhandenen Punkte M′ und M″, sowie einen beliebigen Punkt M mit den Koordinaten (x,Y,z) parallel zu einem vorgegebenen Vektor.

Dabei werden die Vektoren M′M={x-x′;U-U′;z-z′} und M″M={x″-x′;″-am′;z″-z′} müssen koplanar mit Vektor a=(a′ und″,a"), was bedeutet, was (M′M, M″M, a)=0.

Also unsere Gleichung einer Ebene im Raum wird so Aussehen:

schreiben Sie eine Gleichung der Ebene

Darstellung der Gleichung einer Ebene durch drei Punkte

Nehmen wir an, wir haben drei Punkte: (x′,′,z′), (x″,″,z″), (x",Y",z"), die nicht im Besitz einer geraden. Sie schreiben die Gleichung einer Ebene, die durch die angegebenen drei Punkte. Die Theorie der geometrie behauptet, dass diese Art von Ebene wirklich existieren, nur dass Sie die einzige und einzigartig. Da diese Ebene schneidet einen Punkt (x′,′,z′), Aussehen Ihre Gleichung wie folgt aus:

die Gleichung der Ebene

Hier A, B, C ungleich null gleichzeitig. Auch die gewählten Ebene schneidet noch zwei Punkte: (x″,″,z″) und (x",Y",z"). In diesem Zusammenhang erfüllt werden müssen, diese Art von Bedingungen:

die Gleichung der Ebene

Jetzt wir stellen ein homogenen Systems von Gleichungen (lineare) mit den unbekannten u, v, w:

die Gleichung einer Ebene durch drei Punkte

In unserem Fall x,Y oder z steht beliebiger Punkt, der die Gleichung erfüllt (1). Angesichts der Gleichung (1) und System von Gleichungen (2) und (3), einem Satz von Gleichungen, die auf der Abbildung oben, ein Vektor N (A,B,C), die eine nicht-triviale. Gerade weil die Determinante dieses Systems null ist.

die Gleichung der Ebene durch 3 Punkte

Gleichung (1), die wir haben, das ist die Gleichung einer Ebene. Durch 3 Punkte es genau geht, und es ist leicht zu überprüfen. Dazu muss es unser Determinante nach den Elementen, die sich in der ersten Zeile. Aus den vorhandenen Eigenschaften der Determinante ergibt sich, dass unsere Ebene gleichzeitig kreuzt die drei ursprünglich definierten Punkt (x′,′,z′), (x″,″,z″), (x",Y",z"). Also haben wir beschlossen, die vor uns gestellte Aufgabe.

Двухгранный Winkel zwischen den Ebenen

Двухгранный Winkel ist eine räumliche geometrische Form, gebildet von zwei полуплоскостями, die stammen aus einer geraden. Mit anderen Worten, ist der Teil des Raumes, beschränkt auf die Daten полуплоскостями.

Nehmen wir an, wir haben zwei Ebenen mit den folgenden Gleichungen:

die Gleichung der Tangente Ebene

Wir wissen, dass Vektoren N=(A,B,C) und N¹=(A¹,¹,¹) senkrecht entsprechend der vorgegebenen Ebenen. Im Zusammenhang mit diesem Winkel φ zwischen den Vektoren N und N¹ entspricht der Ecke (двухгранному), die sich zwischen diesen Ebenen. Das Skalarprodukt hat die Form:

NN¹=|N||N¹|cos φ

Deshalb

Cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).

eine Gleichung der Ebene

Genug zu berücksichtigen, dass 0≤φ≤π.

Eigentlich zwei Ebenen, die sich schneiden, bilden zwei Winkel (двухгранных): φ1 φ2. Die Summe Ihrer gleich π (φ1+ φ2= π). Im Hinblick auf Ihre Cosinus, deren absolute Werte sind gleich, aber Sie unterscheiden sich Marken, D. H. cos φ1=-cos φ2. Wenn in der Gleichung (0) zu ersetzen A, B und C für die Zahl-A, -B und -C sind, ist die Gleichung, die wir erhalten, bestimmt die gleiche Ebene, das einzige, Winkel φ in der Gleichung cos φ= NN1/|N||N1| wird ersetzt durch π-φ.

Die Gleichung der senkrechten Ebene

Senkrechten Ebene genannt werden, zwischen denen der Winkel beträgt 90 Grad. Unter Verwendung des Materials skizzierten, finden wir die Gleichung der Ebene,senkrecht zu einem anderen. Angenommen, wir haben zwei Ebenen: AH+Wu+Cz+D=0 und A¹x+¹+C¹z+D=0. Wir können bestätigen, dass Sie senkrecht wird, wenn cosφ=0. Dies bedeutet, dass NN¹=AA¹+BB¹+SS¹=0.

Die Gleichung einer parallelen Ebene

Parallel zwei Ebenen genannt, die keine gemeinsamen Punkte.

Die Bedingung der Parallelität der Ebenen (deren Gleichungen sind die gleichen wie im vorherigen Absatz) besteht darin, dass die Vektoren N und N¹, die senkrecht zu Ihnen, collinear. Das bedeutet, dass Verhältnismäßigkeit die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

A/A¹=In/Im¹=s/s¹.

Wenn die Bedingungen der Verhältnismäßigkeit handelt es sich um erweiterte - A/A¹=In/Im¹=s/s¹=DD¹,

Dies deutet darauf hin, dass die Daten der Ebene übereinstimmen. Dies bedeutet, dass die Gleichung AH+Wu+Cz+D=0 und A¹x+¹+C¹z+D z - ¹=0 beschreiben eine Ebene.

Distanz zur Ebene, die vom Punkt

Nehmen wir an, wir haben eine Ebene P, die definiert ist durch die Gleichung (0). Sie müssen finden Sie Abstand vom Punkt mit den Koordinaten (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Um dies zu tun, müssen Sie führen eine Gleichung der Ebene N in die normale Ansicht:

(ρ,v)=P (P≥0).

In diesem Fall ρ (x,Y,z) ist der Radius-Vektor unserem Punkt Q liegt auf P, P ö Länge der senkrechte N, das wurde aus dem Nullpunkt, v – dieses ist ein einzelner Vektor, der sich in Richtung und.

finden Sie die Gleichung der Ebene

Der Unterschied ρ-ρº Radius-Vektors irgend einen Punkt Q=(x,Y,z), gefolgt von N und den Radius-Vektor von einem gegebenen Punkt Q0=(хₒ,уₒ,zₒ) ist so ein Vektor, der absolute Wert dessen Projektion auf v ist gleich dem Abstand d, die zu finden von Q0=(хₒ,уₒ,zₒ) bis N:

D=|(ρ-ρ0,v)|, sondern

(ρ-ρ0,v)= (ρ,v)–(ρ0,v) =r–(ρ0,v).

Es stellt sich heraus,

D=|(ρ0,v)-r|.

Jetzt ist es sichtbar, dass berechnen Sie den Abstand d von Q0 bis Plan P zu verwenden, die normale Form der Gleichung der Ebene, wobei verschieben in die linke Seite P, Letzte anstelle von x,Y,z zu ersetzen (хₒ,уₒ,zₒ).

So finden wir den absoluten Wert der erhaltenen Ausdruck, also das gesuchte d.

Unter Verwendung der Sprache der Parameter, so erhalten wir das offensichtliche:

D=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(A²+²+s²).

Wenn der Zielpunkt Q0 liegt auf der anderen Seite der Ebene P, und wie Ursprung, zwischen dem Vektor ρ-ρ0 und v liegt stumpfen Winkel, also:

D=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-r>0.

In dem Fall, wenn der Punkt Q0 zusammen mit dem Beginn des Koordinatensystems befindet sich auf der gleichen Seite von P, ist die erstellte scharfen Winkel, das heißt:

D=(ρ-ρ0,v)=P - (ρ0, v)>0.

Das Ergebnis ist, dass im ersten Fall (ρ0,v)>P, in der zweiten (ρ0,v)<R.

Die Tangentiale Ebene, und Ihre Gleichung

Über die Ebene an die Oberfläche berührten Bereich Mº – das ist die Ebene, die alle möglichen Tangenten an die Kurve, verbrachte durch diesen Punkt auf der Oberfläche.

Bei dieser Form der Gleichung einer Fläche F(x,Y,z)=0 die Gleichung der Tangente Ebene im Punkt M eine Tangenteº(xº,º,zº) würde das so Aussehen:

FX(xº,º,zº)(x - xº)+ FX(xº,º, zº)(U - Uº)+ FX(xº,º,zº)(z-zº)=0.

Wenn Sie die Oberfläche in einer expliziten Form z=f (x,Y), dann ist die tangentiale Ebene wird beschrieben durch die Gleichung:

Z-zº =f(xº,º)(x - xº)+f(xº,º)(U - Uº).

Schnittpunkt zweier Ebenen

Im dreidimensionalen Raum befindet sich das Koordinatensystem (rechteckige) Oxyz gegeben sind zwei Ebenen der N′ N″, die schneiden und nicht identisch sind. Da jede Ebene, die in einem rechteckigen Koordinatensystem, bestimmt durch den Allgemeinen Gleichung, die uns zu der Annahme, dass die N′ N″ werden die Gleichungen A′x+′+C′z+D′=0 und″x+″+C″z+D″=0. In diesem Fall haben Sie die normale n′ (Und′′,C′) der Ebene P′ und die normale n″ (Und″″,″) der Ebene P″. Da unsere Ebene nicht parallel und nicht identisch sind, diese Vektoren sind nicht kollinear. Unter Verwendung der Sprache der Mathematik, haben wir diese Bedingung, so können wir schreiben: n′≠ n″ ↔ (Und′′,′) ≠ (λ*Und″,λ*″,λ*Mit″), λϵR. Lassen gerade, das liegt an der Kreuzung der N′ N″, der Buchstabe a bezeichnet werden, in diesem Fall a = N′ ∩ N″.

Und – dies ist eine gerade, bestehend aus einer Menge aller Punkte (Gesamt) Flächen N′ N″. Dies bedeutet, dass die Koordinaten eines beliebigen Punktes, im Besitz von direkten und, erfüllen müssen gleichzeitig die Gleichungen A′x+′+C′z+D′=0 und″x+″+C″z+D″=0. Also die Koordinaten eines Punktes werden private Lösung der folgenden Gleichungssysteme:

machen Sie eine Gleichung der Ebene

Das Ergebnis ist, dass die Lösung (allgemein) dieses System von Gleichungen bestimmen die Koordinaten der einzelnen Punkte der geraden, die handeln wird der Schnittpunkt der N′ N″ und Bestimmung der direkten und im Koordinatensystem Oxyz (rechteckig) im Raum.


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