Równanie płaszczyzny: jak sporządzić? Rodzaje równań płaszczyzny

Data:

2018-12-28 22:50:29

Przegląd:

1660

Ranking:

1Kochać 0Niechęć

Udział:

Table of contents:

W przestrzeni płaszczyznę można ustawiać na różne sposoby (jeden punkt i wektor, dwoma punktami i wektorem, trzema punktami, itp.). Właśnie z tego względu równanie płaszczyzny może mieć różne rodzaje. Również po spełnieniu określonych warunków płaszczyzny mogą być równoległe, prostopadłe, przecinających itp. O tym porozmawiamy w tym artykule. Nauczymy się tworzyć ogólne równanie płaszczyzny i nie tylko.

Normalny wygląd równania

Załóżmy, że mamy przestrzeń R3, który ma prostokątny układ współrzędnych układ XYZ. Postawmy wektor α, który ukaże się w punkcie O. Przez koniec wektora α przeprowadzimy płaszczyznę P, która będzie do niego prostopadła.

równanie płaszczyzny

Oznaczenia na P dowolny punkt P=(x,y,z). Promień-wektor punktu Q podpiszemy literą p. Przy tym długość wektora α równa się p=Iαi i Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

To wektor jednostkowy, który jest skierowany w stronę, jak i wektor α. α, β i γ – to kąty, które tworzą się między wektorem Ʋ i pozytywnymi kierunkami osi w przestrzeni x, y, z odpowiednio. Projekcja jakiegoś punktu QϵП na wektor Ʋ jest stała, która jest równa p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Podane równanie ma sens, gdy p=0. Jedyne, płaszczyzna P w tym przypadku będzie przekroczyć punktu O (α=0), która jest początkiem układu współrzędnych, wektor jednostkowy Ʋ, wydany z punktu O, będzie prostopadły do do N, bez względu na jego kierunek, co oznacza, że wektor Ʋ jest określana z dokładnością do znaku. Poprzednie równanie jest równaniem naszej płaszczyzny P, wyrażona w postaci wektorowej. A oto współrzędne jego widok będzie taki:

Bardziej:

Główne etapy rozwoju psychiki w филогенезе

Główne etapy rozwoju psychiki w филогенезе

Rozwój psychiki w филогенезе charakteryzuje się kilkoma etapami. Rozważmy dwie główne historie związane z tym procesem.Филогенез - to historyczny rozwój, obejmującego miliony lat ewolucji, historię rozwoju różnych gatunków organizmów żywych.Ontogenez...

Co to jest gronkowiec i metody jego leczenia

Co to jest gronkowiec i metody jego leczenia

Wielu w swoim życiu miał do czynienia z zakażeniem gronkowca. Dlatego konieczne jest posiadanie pełnej informacji o tej chorobie, aby w pełni zrozumieć, co dzieje się w organizmie. Więc co to jest gronkowiec? To bakterie, lub jedną z ich odmian, z kt...

co studiuje morfologia

Co studiuje morfologia

 Przed podjęciem się, że studiuje morfologia, należy zauważyć, że sam studiuje ten dział gramatyki. Tak, morfologia studiuje słowo jako część mowy, a także sposoby jego edukacji, jego formy, struktury i gramatyki wartości, a także poszczególne j...

równanie równoległej do płaszczyzny

P tutaj jest większa lub równa 0. Możemy znaleźć równanie płaszczyzny w przestrzeni w postaci normalnej.

Ogólne równanie

Jeśli równanie we współrzędnych należy pomnożyć przez dowolną liczbę, która nie jest równa zero, to otrzymamy równanie równoważne danemu określająca tę samą płaszczyznę. Będzie ono mieć taki widok:

ogólne równanie płaszczyzny

Tutaj, A, W, S ó to liczby, jednocześnie różne od zera. To równanie jest określany jako równanie płaszczyzny ogólnego wyglądu.

Równania płaszczyzn. Prywatne przypadki

Równanie w ogólnej postaci, może rozwinąć się w przypadku dodatkowych warunków. Rozważmy niektóre z nich.

Załóżmy, że współczynnik A jest równy 0. To oznacza, że ta płaszczyzna jest równoległa do danej osi Ox. W tym przypadku widok równania zmieni: Wu+Cz+D=0.

Podobnie jak widok równania będzie się zmieniać i w następujących warunkach:

  • Po pierwsze, jeśli W=0, to równanie zmieni się na Ah+Cz+D=0, co będzie świadczyć o równoległe do osi Oh.
  • Po drugie, jeśli Z=0, to równanie jest konwertowany na Ah+Wu+D=0, co będzie mówić o równoległości do zadanej osi Oz.
  • Po trzecie, jeśli D=0, równanie będzie wyglądać jak Ah+Wu+Cz=0, co oznacza, że płaszczyzna przecina O (początek układu współrzędnych).
  • Po czwarte, jeśli A=B=0, to równanie przybierze Cz+D=0, co będzie udowadniać równoległe do Oxy.
  • Po piąte, jeśli B=C=0, to równanie będzie Ah+D=0, a to oznacza, że płaszczyzna do Oyz równoległa.
  • Po szóste, jeśli A=C=0, to równanie przybierze wygląd Wu+D=0, czyli będzie informować o równoległości do Oxz.

Widok równania w odcinkach

W przypadku, gdy liczby A, b, c, D różne od zera, rodzaj równania (0) może być następujący:

X/a + y/b + z/z = 1,

W którym a = -D/A, b = -D/W, z = -D/S.

Otrzymujemy ostatecznie równanie płaszczyzny w odcinkach. Warto zauważyć, że ta płaszczyzna przecina oś Ox w punkcie o współrzędnych (a,0,0), Oh – (0,b,0), a Oz – (0,0,z).

równanie płaszczyzny w przestrzeni

Biorąc pod uwagę równania x/a + y/b + z/z = 1 łatwo wizualnie przedstawić rozmieszczenie płaszczyzny w stosunku do danego współrzędnych.

Współrzędne wektora normalnego

Wektor Normalny n do płaszczyzny P ma współrzędne, które są kursy ogólne równanie tej płaszczyzny, czyli n (A,W,Z).

napisz równanie плоскостий

Aby określić współrzędne normalne n, wystarczy znać ogólne równanie zadanej płaszczyzny.

Przy użyciu równania w odcinkach, która ma postać x/a + y/b + z/z = 1, podobnie jak w przypadku ogólnego równania można zapisać współrzędne dowolnego wektora normalnego zadanej płaszczyzny: (1/a + 1/b + 1/c).

Warto zauważyć, że wektor normalny pomaga rozwiązać różnorodne zadania. Do najczęściej odnoszą się zadania, polegające w dowodzie prostopadłości lub równoległości płaszczyzn, zadania znalezienia kątów między płaszczyznami lub kątów między płaszczyznami i prostymi.

Widok równania płaszczyzny według współrzędnych punktu i wektora normalnego

- Zero wektor n, prostopadły zadanej płaszczyzny, nazywany normalnym (normalną) do zadanej płaszczyzny.

Załóżmy, że w przestrzeni współrzędnych (prostokątnym układzie współrzędnych) Oxyz ustawione:

  • Punkt Мₒ o współrzędnych (хₒ,уₒ,zₒ);
  • Zero wektor n=A*i+W*j+Z*k.

równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt

Trzeba ułożyć równanie płaszczyzny, która przechodzi przez punkt Мₒ prostopadle do normalnej n.

W przestrzeni wybierzemy dowolny dowolny punkt i oznaczmy ją M (x, y,z). Niechpromień-wektor żadnego punktu M (x,y,z) r=x*i+u*j+z*k, a promień-wektor punktu Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) – rₒ=хₒ*i+уₒ*j+zₒ*k. Punkt M będzie należeć do danej płaszczyzny, jeśli wektor МₒМ będzie prostopadły do wektora n. Zapisujemy warunek ортогональности za pomocą iloczynu skalarnego:

[МₒМ, n] = 0.

Ponieważ МₒМ = rórₒ wektorowe równanie płaszczyzny wyglądać będzie tak:

[r ó rₒ, n] = 0.

To równanie może mieć inny kształt. Do tego celu wykorzystywane są właściwości iloczynu skalarnego, a konwertowana lewa strona równania. [r ó rₒ, n] = [r, n] – [rₒ, n]. Jeśli [rₒ, n] oznaczyć jako z, otrzymamy następujące równanie: [r, n] – z = 0 lub [r, n] = z, która wyraża stałość projekcje na normalny promień wektor-wektor określonych punktów, które należą do płaszczyzny.

Teraz możesz otrzymać osiowe typ rekordu wektor równania naszej płaszczyzny [r ó rₒ, n] = 0. Ponieważ rórₒ = (xóхₒ)*i + (uóуₒ)*j + (z–zₒ)*k, a n = A*i+W*j+Z*k, mamy:

równanie płaszczyzny, przechodzącej przez punkt

Wychodzi, u nas powstaje równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt prostopadle do normalnej n:

A*(x - хₒ)+W*(uó уₒ)Z*(z–zₒ)=0.

Widok równania płaszczyzny według współrzędnych dwóch punktów i wektorów, коллинеарного płaszczyzny

Postawmy dwa dowolne punkty M′ (x′,u′,z′) i M″ (x″,u″,z″), a także wektor a (a′,a″ a").

Teraz możemy ułożyć równanie zadanej płaszczyzny, która będzie odbywać się za pośrednictwem punktu M′ i M″, a także w każdym punkcie M o współrzędnych (x,y,z) równolegle do określonego wektora a.

Przy czym wektory M′M={x-x′;u u′;z-z′} i M″M={x″-x′;u″-′;z″-z′} muszą być współplanarne z wektorem a=(a′,a″ a"), a to znaczy, (M′M, M″M, a)=0.

Więc nasze równanie płaszczyzny w przestrzeni będzie wyglądać tak:

napisać równanie płaszczyzny

Widok równania płaszczyzny, która przekracza trzy punkty

Załóżmy, że mamy trzy punkty: (x′,u′,z′), (x″,u″,z″), (x",y",z"), które nie należą do jednej prostej. Należy napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez zadane trzy punkty. Teoria geometrii twierdzi, że tego rodzaju płaszczyznę naprawdę istnieje, to tylko ona jedyna i niepowtarzalna. Ponieważ ta płaszczyzna przecina punkt (x′,u′,z′), widok jej równania jest następująca:

równanie płaszczyzny

Tutaj A, b, c różnią się od zera jednocześnie. Również określona płaszczyzna przecina jeszcze dwa punkty: (x″,u″,z″) i (x",y",z"). W związku z tym powinny być wykonywane tego rodzaju warunki:

równanie płaszczyzny

Teraz możemy stworzyć jednolity system równań (liniową) z nieznanymi u, v, w:

równanie płaszczyzny za trzy punkty

W naszym przypadku x,y lub z, opowiada o dowolnym punktem, który spełnia równanie (1). Biorąc pod uwagę równanie (1) i system z równań (2) i (3) w układzie równań, wskazanej na rysunku powyżej, spełnia wektor N (A,W,Z), który jest banalnej. Właśnie dlatego wyznacznik tego układu jest równa zeru.

równanie płaszczyzny za 3 punkty

Równanie (1), który u nas się udało, to jest równanie płaszczyzny. Przez 3 punkty ona dokładnie przechodzi, i to łatwo sprawdzić. Do tego trzeba rozłożyć nasz wyznacznik dla elementów znajdujących się w pierwszym wierszu. Z istniejących właściwości wyznacznika wynika, że nasza płaszczyzna jednocześnie przecina trzy pierwotnie zdefiniowane punkty (x′,u′,z′), (x″,u″,z″), (x",y",z"). Czyli zdecydowaliśmy postawione przed nami zadanie.

D kąt między płaszczyznami

D kąt stanowi przestrzenną figurę geometryczną, powstałą dwoma полуплоскостями, które pochodzą z tej samej linii. Innymi słowy, jest to część przestrzeni, która jest ograniczona do danych полуплоскостями.

Załóżmy, że mamy dwie płaszczyzny z następującymi równaniami:

równanie płaszczyzny stycznej

Wiemy, że wektory N=(A,b,c) i N¹=(A¹,W¹,Z¹) są prostopadłe według określonych płaszczyzn. W związku z tym kąt φ między wektorami N i N¹ równa rogu (двухгранному), który znajduje się między tymi płaszczyznami. Iloczyn skalarny ma postać:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

Właśnie dlatego,

Cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).

ułożyć równanie płaszczyzny

Wystarczy wziąć pod uwagę, że 0≤φ≤π.

Właściwie dwie płaszczyzny, które przecinają się, tworząc dwa kąty (двухгранных): φ1 i φ2. Suma ich wynosi π (φ1+ φ2= π). Co do ich cosinusów, to ich absolutne wartości są równe, ale różnią się one towarowymi, czyli cos φ1=-cos φ2. Jeśli w równaniu (0) wymienić A, b i c na liczby-A-W a -Z, odpowiednio, to równanie, które otrzymamy, będzie oceniać tę samą płaszczyznę, jedyne, kąt φ w równaniu cos φ= NN1/|N||N1| zostanie zastąpiony π-φ.

Równanie prostopadłej do płaszczyzny

Nazywane są Prostopadłe do płaszczyzny, między którymi kąt równy 90 stopni. Wykorzystując materiał, opisanej powyżej, możemy znaleźć równanie płaszczyzny,prostopadłej do drugiej. Załóżmy, że mamy dwie płaszczyzny: Ah+Wu+Cz+D=0 i A¹x+W¹u+Z¹z+D=0. Możemy stwierdzić, że prostopadłe będą, jeśli cosφ=0. To znaczy, że NN¹=AA¹+BB¹+SS¹=0.

Równanie równoległej do płaszczyzny

Równoległymi nazywane są dwie płaszczyzny, które nie mają punktów wspólnych.

Warunek równoległości płaszczyzn (ich równania te same, co w poprzednim punkcie) polega na tym, że wektory N i N¹, które są do nich prostopadłe, коллинеарные. A to oznacza, że są spełnione następujące warunki proporcjonalności:

- A/A¹=W/W¹=Z/Z¹.

Jeśli warunki proporcjonalności są zaawansowane - A/A¹=W/W¹=Z/Z¹=DD¹,

To świadczy o tym, że dane płaszczyzny pokrywają się. A to oznacza, że równania Ah+Wu+Cz+D=0 i A¹x+W¹u+Z¹z+D¹=0 opisują jedną płaszczyznę.

Odległość samolotu od punktu

Załóżmy, że mamy płaszczyznę P, która jest zdefiniowana równaniem (0). Należy znaleźć do niej odległość od punktu o współrzędnych (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Aby to zrobić, trzeba doprowadzić równanie płaszczyzny P w normalny wygląd:

(ρ,v)=r (r≥0).

W tym przypadku ρ (x,y,z) jest promień-wektor naszego punktu Q, znajdującego się na N, p ó długość prostopadła P, który został wydany z punktu zerowego, v – jest to wektor jednostkowy, który znajduje się w kierunku a.

znajdź równanie płaszczyzny

Różnica ρ-ρº promień-wektor jakiś punkt Q=(x,y,z), należący do P, a także promień-wektor danego punktu Q0=(хₒ,уₒ,zₒ) jest takim wektorem, wartość bezwzględna projekcji którego na v równa się odległości d, które trzeba znaleźć od Q0=(хₒ,уₒ,zₒ) do N:

D=|(ρ-ρ0,v)|, ale

(ρ-ρ0,v)= (ρ,v)–(ρ0,v) =p–(ρ0,v).

Okazuje się,

D=|(ρ0,v)-p|.

Teraz widać, aby obliczyć odległość d od Q0 do płaszczyzny P, trzeba użyć normalny wygląd równania płaszczyzny, przy tym przesuwać w lewą część p, a w ostatniej zamiast x,y,z wrobić (хₒ,уₒ,zₒ).

W Ten sposób znajdziemy bezwzględna wartość otrzymanego wyrażenia, czyli szukane d.

Za Pomocą języka parametrów, otrzymujemy oczywiste:

D=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(A²+²+²).

Jeśli punkt docelowy Q0 znajduje się po drugiej stronie płaszczyzny P, jak i początek układu współrzędnych, to między wektorem ρ-ρ0 i v jest kąt rozwarty, więc:

D=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-p>0.

W przypadku, gdy punkt P0 wraz z początkiem układu współrzędnych znajduje się w tę samą stronę od N, to tworzony kąt ostry, to jest:

D=(ρ-ρ0,v)=p - (ρ0, v)>0.

W końcu okazuje się, że w pierwszym przypadku (ρ0,v)>p, w drugim (ρ0,v)<p.

Płaszczyzna Styczna i jej równanie

Dotyczące płaszczyznę do powierzchni w punkcie styczności Mº – to płaszczyzna zawierająca wszystkie możliwe styczne do krzywych, przeprowadzonych przez ten punkt na powierzchni.

Przy takim postaci równania powierzchni F(x,y,z)=0 równanie płaszczyzny stycznej w styczna punkcie Mº(xº,uº,zº) będzie wyglądać tak:

FX(xº,uº,zº)(x - xº)+ FX(xº, uº, zº)(u - uº)+ FX(xº, uº,zº)(z-zº)=0.

Jeśli zadać powierzchnia w jawnej postaci z=f (x,u), to płaszczyzna styczna będzie opisana równaniem:

Z-zº =f(xº, uº)(x - xº)+f(xº, uº)(u - uº).

Przecięcie dwóch płaszczyzn

W trójwymiarowej przestrzeni znajduje się układ współrzędnych (prostokątna) Oxyz, podane są dwie płaszczyzny P′ i P″, które przecinają się i nie pasują do siebie. Ponieważ każda płaszczyzna znajdująca się w prostokątnym układzie współrzędnych, obliczana jest wzorem, będziemy zakładać, że P′ i P″ są określone równaniami A′x+W′u+Z′z+D′=0 i A″x+W″u+Z″z+D″=0. W takim przypadku mamy normalny n′ (A′,W′,Z′) płaszczyzny P′ i normalny n″ (A″,W″,Z″) płaszczyzny P″. Ponieważ nasze płaszczyzny nie są równoległe i nie pokrywają się, to te wektory są kolinearne. Używając języka matematyki, możemy ten warunek możemy zapisać jako: n′≠ n″ ↔ (A′,W′,Z′) ≠ (λ*A″,λ*W″,λ*Z″), λϵR. Niech bezpośrednie, która leży na skrzyżowaniu P′ i P″, będzie oznaczone literą a, w tym przypadku a = N′ ∩ P″.

A – to prosta, składająca się z wielu wszystkich punktów (ogólnych) płaszczyzn P′ i P″. Oznacza to, że współrzędne dowolnego punktu należącego do prostej a, muszą jednocześnie spełniać równania A′x+W′u+Z′z+D′=0 i A″x+W″u+Z″z+D″=0. To znaczy, że współrzędne punktu będą prywatnym rozwiązaniem następującego układu równań:

ułożyć równanie płaszczyzny

W końcu okazuje się, że rozwiązanie (całkowita) tego układu równań określi współrzędne każdego z punktów prostej, która będzie działać punkt przecięcia P′ i P″, i określić prostą w układzie współrzędnych Oxyz (prostokątny) w przestrzeni.


Article in other languages:

AR: https://tostpost.com/ar/education/13329-equation-of-a-plane-how-to-make-types-of-equations-of-a-plane.html

BE: https://tostpost.com/be/adukacyya/23862-ra-nanne-ploskasc-yak-sklasc-v-dy-ra-nannya-ploskasc.html

DE: https://tostpost.com/de/bildung/23878-gleichung-der-ebene-wie-machen-arten-von-gleichungen-der-ebene.html

En: https://tostpost.com/education/16974-equation-of-a-plane-how-to-make-types-of-equations-of-a-plane.html

ES: https://tostpost.com/es/la-educaci-n/23899-la-ecuaci-n-de-un-plano-a-componer-tipos-de-ecuaciones-de-un-plano.html

HI: https://tostpost.com/hi/education/13354-equation-of-a-plane-how-to-make-types-of-equations-of-a-plane.html

JA: https://tostpost.com/ja/education/13360-equation-of-a-plane-how-to-make-types-of-equations-of-a-plane.html

KK: https://tostpost.com/kk/b-l-m/23846-te-deu-zhazy-ty-ta-alay-zhasau-a-bolady-t-rler-te-deuler-zhazy-ty-ta.html

PT: https://tostpost.com/pt/educa-o/23804-a-equa-o-do-plano-como-fazer-tipos-de-equa-es-do-plano.html

TR: https://tostpost.com/tr/e-itim/23860-denklemi-d-zlem-nas-l-tasarlan-r-t-r-denklemleri-d-zlemde.html

UK: https://tostpost.com/uk/osv-ta/23830-r-vnyannya-ploschini-yak-sklasti-vidi-r-vnyan-ploschini.html

ZH: https://tostpost.com/zh/education/14047-equation-of-a-plane-how-to-make-types-of-equations-of-a-plane.html






Alin Trodden - autor artykułu, redaktor
"Cześć, jestem Alin Trodden. Piszę teksty, czytam książki, Szukam wrażeń. I nie jestem zły w opowiadaniu ci o tym. Zawsze chętnie biorę udział w ciekawych projektach."

Uwaga (0)

Ten artykuł nie ma komentarzy, bądź pierwszy!

Dodaj komentarz

Nowości

Katarzyna 2: biografia cesarzowej. Historia Rosji

Katarzyna 2: biografia cesarzowej. Historia Rosji

Niejednoznaczne osobą była Katarzyna 2 Wielka ó rosyjska cesarzowa pochodzenia niemieckiego. W większości artykułów i filmów jest pokazana jako miłośniczka dworskich balów i luksusowych toalet, a także wielu faworytów, z kt...

Hiszpańskie imperium: opis, historia i flaga

Hiszpańskie imperium: opis, historia i flaga

Hiszpańskie imperium w czasach swojej potęgi była jednym z największych państw, które kiedykolwiek istniały na świecie. Jej tworzenie jest nierozerwalnie związane z epoką Wielkich odkryć geograficznych, kiedy to stał się kolonialn...

Tematyczne grupy wyrazów: przykłady

Tematyczne grupy wyrazów: przykłady

Co jest jednostką języka rosyjskiego? Na pewno słowo. Z jego pomocą komunikujemy, przekazujemy sobie myśli i przeżycia. W artykule omówiono tematyczne grupy wyrazów, które pozwalają zaklasyfikować bogactwo języka rosyjskiego, licz...

Najbardziej gęsto zaludnionym krajem na świecie. Monako: ciekawe fakty o księstwie

Najbardziej gęsto zaludnionym krajem na świecie. Monako: ciekawe fakty o księstwie

Ludzkość bardzo nierównomiernie rozłożone na powierzchni naszej planety. Na przykład, w małym azjatyckim państwie może mieszkać więcej ludzi niż na całym kontynencie Australia. Gdzie znajduje się najbardziej gęsto zaludnionym kraj...

Co to jest zamrażanie w styczniu: definicja i główne cechy

Co to jest zamrażanie w styczniu: definicja i główne cechy

Rzeka – to nie tylko cieku, несущийся z gór i wzniesień w morza i oceany. Jest to dość skomplikowany ekosystem, rodzaj óciało», którego nieodłącznym swoje funkcje i tryby. W tym artykule chodzi o temperatury i l...

Psychologia koloru w reklamie jako narzędzie sprzedaży

Psychologia koloru w reklamie jako narzędzie sprzedaży

Przemysł reklamy stale rośnie i rozwija się, jednak pozostaje bez zmian dogłębne studium psychologii człowieka, jako potencjalnego kupującego. Jak przyciągnąć, jak zwrócić uwagę kupujących właśnie na pewien rodzaj towaru w szeregu...